Una successione nata sbagliata

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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HarryPotter
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Una successione nata sbagliata

Messaggio da HarryPotter » 14 mag 2005, 19:36

Premessa:
Questo problema è molto simile al problema n°5 di Cesenatico di quest'anno, ma con una piccola variante. La variante lo rende abbastanza facile (quindi le menti superiori del sito si astengano... :) ), ma resta comunque un problema simpatico.
Meno simpatico risulta essere per chi invece, leggendo male a Cesenatico, ha fatto proprio questo problema :oops: (0 punti! :cry: ).
Inizio qui, involontariamente, la mia carriera di creatore di problemi, storpiando un problema di Marco. Spero mi perdonerà...


Ed ecco a voi:

Sia h un numero intero positivo e sia a(n) la successione definita per ricorrenza nel modo seguente:

a(0)= 1

a(n+1)= a(n)/2 se n ( :oops: ) è pari

= a(n) + h se n è dispari


Per quali valori di h esiste n > 0 per cui a(n) = 1?

In bocca al lupo!

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HumanTorch
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Messaggio da HumanTorch » 14 mag 2005, 20:09

Per comodità supponiamo che la successione sia $ a_{n+1}=(a_n+k)/2 $
Innanzitutto $ h $ deve essere dispari (se $ h $ è pari, $ a_n\equiv 1 $ $ (\mod k) $).
Per $ h=1 $, $ a_n $ è costante ed è pari a 1, e questa è l'unica soluzione positiva; difatti, se $ h>1 $ e $ h+1=2*(2n+1)=2d $, $ a_n $ tenderà a $ h $ (la dimostrazione è semplice).

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 14 mag 2005, 20:46

HarryPotter, ma tu eri quel tizio in seconda fila che esultava ogni volta che risolveva un problema (o che credeva di risolverlo)?

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 14 mag 2005, 21:26

Penso proprio che fosse lui, Mind.

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 15 mag 2005, 00:55

Era lui... e ce lo becchiamo pure al preIMO! :?

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 15 mag 2005, 06:53

Ok, allora a Pisa lo si saccagna come si deve.

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HarryPotter
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Messaggio da HarryPotter » 15 mag 2005, 11:56

MindFlyer ha scritto:Ok, allora a Pisa lo si saccagna come si deve.
E' bello sentirsi amati...

Ci si vede oggi pomeriggio!

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mattilgale
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Messaggio da mattilgale » 20 mag 2005, 14:02

sigh...

due miseri punti... :cry: :cry:

e Pisa è qui a 3 km
"la matematica è il linguaggio con cui Dio ha plasmato l'universo"

Galileo Galilei

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