particolarità matematica
particolarità matematica
se si eleva x^(1+4n) con n interi si ottiene un numero che ha come ultima cifra l' ultima cifra di x. Ora è chiaro che se si eleva x^(1+a*n) per particolari valori di a si ha questa proprietà( perchè praticamente si continua a moltiplicare l' ultima cifra del numero ottenuto per x e prima o poi si riotterrà come ultima cifra l'ultima cifra di x e riinizierà il ciclo). Mi chiedevo invece perchè si ha a=4 per tutte e 10 le cifre finali di x. Perchè avviene questo? ed è vero indipendentemente dalla base che scegli? sapete rispondere a queste domande?
(patate + fagioli) * (patate - fagioli)
Sì, è proprio come dice mario86x. Siano infatti $ b $ un intero $ > 1 $ ed $ (x_k x_{k-1} \ldots x_0)_b $ la rappresentazione posizionale in base $ b $ di un arbitrario $ n\in\mathbb{N}_0 $, ove $ k\in\mathbb{N} $; $ x_0, x_1, \ldots, x_k $ sono cifre del sistema di numerazione $ b $-esimale ed $ x_k \neq 0 $.
E allora, per ogni $ t\in\mathbb{N} $, detta $ u_t $ la cifra meno significativa della rappresentazione in base $ b $ di $ n^{1+t} $, risulta che: $ u_t \equiv n^{1+t} \equiv \left(\sum_{i=0}^{k} x_i \cdot b^i\right)^{1+t} \equiv x_0^{1+t} \bmod b $. D'altro canto, per conseguenza del piccola teorema di Fermat, qualunque sia la base $ b $ della rappresentazione, esiste un intero minimale $ s_b\in\mathbb{N}_0 $ tale che, per ogni $ x\in\{0, 1, \ldots, b-1\} $: $ x^{s_b} \equiv x \bmod b $, cosicché: $ u_t \equiv x_0^{1+t} \equiv x_0 \bmod b $, e dunque $ u_t = x_0 $, se $ s_b \mid t $. Ebbene, risulta $ s_{10} = 4 $, e tanto basta per spiegare le ragioni della stravagante (ma non troppo!) particolarità da te ritrovata, caro sgiangrag... Naturalmente, $ s_b $ è strettamente dipendentente dalla base del sistema in cui si opera.
E allora, per ogni $ t\in\mathbb{N} $, detta $ u_t $ la cifra meno significativa della rappresentazione in base $ b $ di $ n^{1+t} $, risulta che: $ u_t \equiv n^{1+t} \equiv \left(\sum_{i=0}^{k} x_i \cdot b^i\right)^{1+t} \equiv x_0^{1+t} \bmod b $. D'altro canto, per conseguenza del piccola teorema di Fermat, qualunque sia la base $ b $ della rappresentazione, esiste un intero minimale $ s_b\in\mathbb{N}_0 $ tale che, per ogni $ x\in\{0, 1, \ldots, b-1\} $: $ x^{s_b} \equiv x \bmod b $, cosicché: $ u_t \equiv x_0^{1+t} \equiv x_0 \bmod b $, e dunque $ u_t = x_0 $, se $ s_b \mid t $. Ebbene, risulta $ s_{10} = 4 $, e tanto basta per spiegare le ragioni della stravagante (ma non troppo!) particolarità da te ritrovata, caro sgiangrag... Naturalmente, $ s_b $ è strettamente dipendentente dalla base del sistema in cui si opera.
