successione def. per ricorrenza
successione def. per ricorrenza
Chiedo il vostro aiuto per risolvere questo problema.
Data la successione a_0=1,a_n=n*a_(n-1)+1,n=1,2,3...
calcolare a_100.
Grazie lo zio
Data la successione a_0=1,a_n=n*a_(n-1)+1,n=1,2,3...
calcolare a_100.
Grazie lo zio
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eh, le apparenze ingannano...
A parte le notazioni da informatico... Potrei capire cosa te lo fa pensare?!?bh3u4m ha scritto:Si nota che: $ n a_{n-1} + 1 == n (n-1) a_{n-2} + n + 1 == $ $ n (n-1) (n-2) a_{n-3} + n(n-1) + n + 1 $. Da qui mi pare abbastanza semplice...
E cosa vorrebbe dire quel tuo "approssivamantivamente"? Baaah... La formula, in tutta evidenza, non funziona, ché difatti $ a_0 := 1 \neq 2 = \lfloor e\rfloor = \lfloor e \cdot 0! \rfloor\, $. Qualcuno prova a rilanciare?!?Simo_the_wolf ha scritto:Non mi pare tanto bello... approssimantivamente $ x_n=\lfloor e(n!)\rfloor $ e cio' non e' bello... naturalmente $ e $ e' il numero di nepero
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Allora... Procediamo rigorosamente.
Abbiamo che $ a_n=n! \sum_{i=1}^n \frac 1{i!} $ com'è già stato peraltro detto. Ora sappiamo che:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac 1{i!}=\sum_{i=1}^\infty \frac 1{i!}-\sum_{i=n+1}^\infty \frac 1{i!}=e-\sum_{i=n+1}^\infty \frac 1{i!} $
Quindi avremo che:
$ a_n=e(n!) - (\frac 1{n+1}+ \frac 1{(n+1)(n+2)}+ \frac 1{(n+1)(n+2)(n+3)} ....) $
Ora quando è che abbiamo $ a_n=\lfloor e(n!) \rfloor $ ??
Abbiamo che $ e(n!)-1 < \lfloor e(n!) \rfloor \leq e(n!) $ e quindi, sostituendo $ a_n=\lfloor e(n!) \rfloor $ , deve essere
$ \frac 1{n+1}+ \frac 1{(n+1)(n+2)}+ \frac 1{(n+1)(n+2)(n+3)} ....<1 $
e ciò accade per ogni $ n\geq1 $ infatti abbiamo che:
$ \frac 1{n+1}+ \frac 1{(n+1)(n+2)}+ \frac 1{(n+1)(n+2)(n+3)}...< $ $ \frac 1{n+1}+ \frac 1{(n+1)^2}+ \frac 1{(n+1)^3} .... =1/n \leq 1 $
infatti possiamo dire che $ a_0=1 $ e $ a_n=\lfloor e(n!) \rfloor $ per ogni $ n \in \mathbb{N}_0 $. Quindi un calcolo semplice della calcolatrice ci renderà:
$ a_{100}=2,5368695556012729741527074821228\cdot 10^{158} $
Abbiamo che $ a_n=n! \sum_{i=1}^n \frac 1{i!} $ com'è già stato peraltro detto. Ora sappiamo che:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac 1{i!}=\sum_{i=1}^\infty \frac 1{i!}-\sum_{i=n+1}^\infty \frac 1{i!}=e-\sum_{i=n+1}^\infty \frac 1{i!} $
Quindi avremo che:
$ a_n=e(n!) - (\frac 1{n+1}+ \frac 1{(n+1)(n+2)}+ \frac 1{(n+1)(n+2)(n+3)} ....) $
Ora quando è che abbiamo $ a_n=\lfloor e(n!) \rfloor $ ??
Abbiamo che $ e(n!)-1 < \lfloor e(n!) \rfloor \leq e(n!) $ e quindi, sostituendo $ a_n=\lfloor e(n!) \rfloor $ , deve essere
$ \frac 1{n+1}+ \frac 1{(n+1)(n+2)}+ \frac 1{(n+1)(n+2)(n+3)} ....<1 $
e ciò accade per ogni $ n\geq1 $ infatti abbiamo che:
$ \frac 1{n+1}+ \frac 1{(n+1)(n+2)}+ \frac 1{(n+1)(n+2)(n+3)}...< $ $ \frac 1{n+1}+ \frac 1{(n+1)^2}+ \frac 1{(n+1)^3} .... =1/n \leq 1 $
infatti possiamo dire che $ a_0=1 $ e $ a_n=\lfloor e(n!) \rfloor $ per ogni $ n \in \mathbb{N}_0 $. Quindi un calcolo semplice della calcolatrice ci renderà:
$ a_{100}=2,5368695556012729741527074821228\cdot 10^{158} $
terrò la risposta per me, questo topic è troppo divertente!
Simo, per quanto gli errori e le lacune dimostrative che affliggono le tue argomentazioni siano evidenti come soltanto potrebbero esserlo le chiazze di petrolio sullo sfondo verdeazzurro del Mare dei Coralli, non io sarò a indicarti - questa volta - perché ti sbagli e dove questo occorre. Pur tuttavia, per persuaderti del torto che ti rendi sorvolando, come fai, su quelli che, quasi con tono dileggioso, ti diverte di chiamar "dettagli", lasciami pure, amice, educarti sul conto della verità. Guarda, posto $ \Delta_n := \displaystyle \lfloor e \cdot n! \rfloor - n! \cdot \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!} $, per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $, vale $ \Delta_1 = 1 $, $ \Delta_2 = 2 $, $ \Delta_3 = 6 $ and so on going. Uhmmm... Che ne dici, ti ho convinto?!?
Può darsi che il tuo problema sia che ragioni troppo da olimpionico della Matematica, e troppo poco da Teorico dei Numeri...
Può darsi che il tuo problema sia che ragioni troppo da olimpionico della Matematica, e troppo poco da Teorico dei Numeri...
Ho provato con la forza bruta... Il risultato di Simone è molto simile a quello che ha calcolato il mio computer:
253686955560127260000000000000000000000000000000000000000000000
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Gli zeri potrebbero essere causati da un'insufficiente tenuta di memoria del computer, per cui garantisco solo le prime cifre.
A parte questo, sapete se esistono in C/C++ strutture predefinite per tenere in memoria certi numeri enormi o sono costretto a rifare il mio programma con un vettore?
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Gli zeri potrebbero essere causati da un'insufficiente tenuta di memoria del computer, per cui garantisco solo le prime cifre.
A parte questo, sapete se esistono in C/C++ strutture predefinite per tenere in memoria certi numeri enormi o sono costretto a rifare il mio programma con un vettore?
Credo nella forza del pensiero... E per quanto mi dolga ammetterlo, Simo (questa volta) non è stato affatto diligente, e il nostro Bollazzo ne ha prontamente evidenziato la ragione. Nondimeno, ho provato con la forza dei computer, ma non che fosse necessario!!! Ebbene, Wolfram mi ha garantito, non senza quell'intimo pudore che pervade lo spirito delle menti consapevoli, quando affidano se stesse al consiglio delle macchine, che: $ a_{100} $ = 1619643475173449761809072244495736bh3u4m ha scritto:Ho provato con la forza bruta... Il risultato di Simone è molto simile a quello che ha calcolato il mio computer [...]
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82215847847686213522639563192102.
Ultima modifica di HiTLeuLeR il 12 mag 2005, 09:55, modificato 2 volte in totale.
Nativamente nel linguaggio, no.bh3u4m ha scritto: A parte questo, sapete se esistono in C/C++ strutture predefinite per tenere in memoria certi numeri enormi o sono costretto a rifare il mio programma con un vettore?
Pero' c'e' la libreria GNU GMP : http://www.swox.com/gmp/
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
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