Trovare tutte le funzioni
$ f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z} $
tali che
$ 3f(x)-2f(f(x))=x $ per ogni $ x\in \mathbb{Z} $
Equazione funzionale in Z
Ehm... mi pare un procedimento troppo assurdo per essere corretto, ma lo scrivo perchè è in ogni caso divertente... Si trova una formula del tipo (si fanno i casi piccoli e si induziona):
f^k (m)=[ (2^k-1)*f(m) - [2^(k-1)-1]*m ] / 2^(k-1)
la funzione è surgettiva (corretto?) come è evidente dal testo,
quindi 2^(k-1) divide tutta quella roba per ogni k [dico questo per verificare l'esistenza della funzione k-esima che dà come ris un numero relativo]
2^(k-1) / [ (2^k-1)*f(m) - [2^(k-1)-1]*m ]
svolgendo i calcoli si riduce la divisibilità sopra in
2^(k-1) / m-f(m)
e questo è valido per ogni k naturale. Ma il numero m-f(m) è costante, quindi l'unica è m=f(m). Ripetendo questo ragionamento per un qualsiasi numero:
x-f(x)=0-->f(x)=x...
-------------
lo sai Boll che alla fine quell'orientamento on-line non andava? Che paccoooo!
f^k (m)=[ (2^k-1)*f(m) - [2^(k-1)-1]*m ] / 2^(k-1)
la funzione è surgettiva (corretto?) come è evidente dal testo,
quindi 2^(k-1) divide tutta quella roba per ogni k [dico questo per verificare l'esistenza della funzione k-esima che dà come ris un numero relativo]
2^(k-1) / [ (2^k-1)*f(m) - [2^(k-1)-1]*m ]
svolgendo i calcoli si riduce la divisibilità sopra in
2^(k-1) / m-f(m)
e questo è valido per ogni k naturale. Ma il numero m-f(m) è costante, quindi l'unica è m=f(m). Ripetendo questo ragionamento per un qualsiasi numero:
x-f(x)=0-->f(x)=x...
-------------
lo sai Boll che alla fine quell'orientamento on-line non andava? Che paccoooo!
-
Simo_the_wolf
- Moderatore
- Messaggi: 1053
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Pescara
