Senza usare il teorema di Dirichlet
Senza usare il teorema di Dirichlet
Problema #1: senza utilizzare il teorema di Dirichlet, provare ch'esistono infiniti primi naturali la cui rappresentazione decimale presenti il $ 9 $ come ultima cifra di destra.
- HumanTorch
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Premetto che sono completamente digiuno di teoria dei numeri e che il pranzo di Pasqua incombe ancora sulla capoccia: non vuole assolutamente essere una soluzione formale, ma une semplice ragionamento conb parecchie pecche.
Innanzitutto si supponga, per assurdo, che esista un numero primo P, maggiore di ogni altro che termina con un 9.
Detto ciò, possiamo scrivere tutti i successivi numeri terminanti con 9 in una sorta di crivello di Eratostene. Cominciando a eliminare i multipli di 3, quelli di 7 e così via: la somma di tutti i reciproci dei primi dende a pigreco^2/6, a cui si deve sottrarre 1/2 e 1/5: quindi che circa il 5,5 per cento dei numeri rimane scoperta: a
questa si vanno poi ad aggiungere i vari multipli di più primi, e quindi andando all'infinito, si hanno infiniti primi terminanti per 9, come per 7, per 1 e per 3.
Innanzitutto si supponga, per assurdo, che esista un numero primo P, maggiore di ogni altro che termina con un 9.
Detto ciò, possiamo scrivere tutti i successivi numeri terminanti con 9 in una sorta di crivello di Eratostene. Cominciando a eliminare i multipli di 3, quelli di 7 e così via: la somma di tutti i reciproci dei primi dende a pigreco^2/6, a cui si deve sottrarre 1/2 e 1/5: quindi che circa il 5,5 per cento dei numeri rimane scoperta: a
questa si vanno poi ad aggiungere i vari multipli di più primi, e quindi andando all'infinito, si hanno infiniti primi terminanti per 9, come per 7, per 1 e per 3.
shock in my town!!!
Fosse stato scritto il primo d'aprile, avrei anche potuto giurare che si tratta soltanto d'uno scherzo, ma siccome (ahime'!!!) non è andata proprio così... pummmfff!!!
Punto primo: la serie dei reciproci di tutti i numeri primi naturali è divergente, altro che "dende a pi^2/6" (btw, si tratta dell'osservazione teorica alla base del celeberrimo proof di Eulero per il teorema d'Euclide sull'infinità dei numeri primi). Punto secondo: siamo nel forum dedicato alla TdN o in quello destinato alla statistica e al calcolo di probabilità e percentuali?!? Uhmmm... Qualcuno me lo conferma?!? Inizio a provare un senso di nausea commisto a un'indecifrabile disordine mentale...
D'accordo, ne prendo atto! Non sentirti pertanto in obbligo di ribadirlo più oltre, leggendo magari i miei commenti ai tuoi... ehmmm... deliri!?!?HumanTorch ha scritto:Premetto che sono completamente digiuno di teoria dei numeri e che il pranzo di Pasqua incombe ancora sulla capoccia: non vuole assolutamente essere una soluzione formale, ma une semplice ragionamento conb parecchie pecche.
Cheeeeee?!? Ehmmm... Cosaaaaaa!?! Urgh! Dunque, vediamo un po'... Spe', mi riprendo con un bel bicchiere d'acqua e saccarosio! Seguono sosumi onomatopeici convenzionali: "Glugluglu... Aaaaaah!!!" Ok, va già mejo...HumanTorch ha scritto:[...] la somma di tutti i reciproci dei primi dende a pigreco^2/6, a cui si deve sottrarre 1/2 e 1/5: quindi che circa il 5,5 per cento dei numeri rimane scoperta: a questa si vanno poi ad aggiungere i vari multipli di più primi, e quindi andando all'infinito, si hanno infiniti primi terminanti per 9, come per 7, per 1 e per 3.
Punto primo: la serie dei reciproci di tutti i numeri primi naturali è divergente, altro che "dende a pi^2/6" (btw, si tratta dell'osservazione teorica alla base del celeberrimo proof di Eulero per il teorema d'Euclide sull'infinità dei numeri primi). Punto secondo: siamo nel forum dedicato alla TdN o in quello destinato alla statistica e al calcolo di probabilità e percentuali?!? Uhmmm... Qualcuno me lo conferma?!? Inizio a provare un senso di nausea commisto a un'indecifrabile disordine mentale...
Leggendo alcune note di teoria dei numeri di tal Zaccagnini, ho trovato in fondo un esercizio che mi ha dato lo spunto per questo problema… Prima definisce I numeri di Fermat:
F_n = 2^2^(n) + 1
E poi dice: dimostrare che se p/ F_n allora p = 1 mod 2^(n+2)…
Continua con una traccia della soluzione. Purtroppo non riesco a seguire tutta la traccia dato che da un certo punto in poi mi sembra errata, cmq…
STEP1 : l’ordine moltiplicativo di 2 modulo p e 2^(n+1).
Dimo : 2^2^(n) + 1 = 0 mod p
2^2^(n) = - 1 mod p
2^2^(n+1) = 1 mod p da cui per le proprieta degli ordini moltiplicativi
ord_p (2) / 2^(n+1)
se fosse con k<n+1
ord_p (2) = 2^k --> 2^(2^k) == 1 --> [2^(2^k)]^[2^(n-k)] == 2^[(2^k)* 2^(n-k)] == 2^(2^n) == 1 contro le ipotesi da cui ord_p (2) = 2^(n+1) ovvero la tesi…
STEP 2 : per Fermat 2^(p-1) = 1 mod p e quindi
2^(n+1)/ (p-1) --> p= k*2^(n+1)+1--> p =1 mod 2^(n+1)
-----
lo STEP 1 era suggerito (non la dimo ovviamente che prob e errata ) dopo partiva con il simbolo di Lagrange ma mi sembrava che non funzionasse cio che proponeva di dimostrare… del resto nello STEP 2 io ho dimostrato meno di quanto si chiedeva, dato che vi e un n+1 invece di un n+2… cmq… stante quanto detto sopra considerato un F_n o questo e primo, oppure troviamo un primo = 1 mod 2^(n+1) che lo divide… dato che n e arbitrario lo possiamo rendere arbitrariamente grande e trovare infiniti primi della forma voluta…
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F_n = 2^2^(n) + 1
E poi dice: dimostrare che se p/ F_n allora p = 1 mod 2^(n+2)…
Continua con una traccia della soluzione. Purtroppo non riesco a seguire tutta la traccia dato che da un certo punto in poi mi sembra errata, cmq…
STEP1 : l’ordine moltiplicativo di 2 modulo p e 2^(n+1).
Dimo : 2^2^(n) + 1 = 0 mod p
2^2^(n) = - 1 mod p
2^2^(n+1) = 1 mod p da cui per le proprieta degli ordini moltiplicativi
ord_p (2) / 2^(n+1)
se fosse con k<n+1
ord_p (2) = 2^k --> 2^(2^k) == 1 --> [2^(2^k)]^[2^(n-k)] == 2^[(2^k)* 2^(n-k)] == 2^(2^n) == 1 contro le ipotesi da cui ord_p (2) = 2^(n+1) ovvero la tesi…
STEP 2 : per Fermat 2^(p-1) = 1 mod p e quindi
2^(n+1)/ (p-1) --> p= k*2^(n+1)+1--> p =1 mod 2^(n+1)
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lo STEP 1 era suggerito (non la dimo ovviamente che prob e errata ) dopo partiva con il simbolo di Lagrange ma mi sembrava che non funzionasse cio che proponeva di dimostrare… del resto nello STEP 2 io ho dimostrato meno di quanto si chiedeva, dato che vi e un n+1 invece di un n+2… cmq… stante quanto detto sopra considerato un F_n o questo e primo, oppure troviamo un primo = 1 mod 2^(n+1) che lo divide… dato che n e arbitrario lo possiamo rendere arbitrariamente grande e trovare infiniti primi della forma voluta…
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Ultima modifica di info il 11 ago 2005, 16:10, modificato 1 volta in totale.
Info, mi diresti dove hai reperito le note a cui facevi riferimento? Io ho cercato in rete ma trovo solo link non funzionanti
A questo punto sono quantomeno curioso di leggerle, visto che nella ricerca è saltato fuori che il tipo in questione si occupa di un sacco di cose interessanti
P.S.: Sarebbe il caso di aggiungerle nei link di materiale reperibile in rete insieme (magari) ad un link funzionante per le dispense di Sato?
A questo punto sono quantomeno curioso di leggerle, visto che nella ricerca è saltato fuori che il tipo in questione si occupa di un sacco di cose interessanti
P.S.: Sarebbe il caso di aggiungerle nei link di materiale reperibile in rete insieme (magari) ad un link funzionante per le dispense di Sato?
Fondatore: [url=http://olimpiadi.dm.unipi.it/oliForum/viewtopic.php?t=8899]Associazione non dimenticatevi dei nanetti![/url]
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Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...
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Mi hai frainteso. Io volevo solamente dire che se ti sembravano interessanti potevi postare un link dove gli interessati potevano andarsele a prendere (c'è pure una sezione apposita del forum, che contiene diversi link).
Credo che possano interessare a diverse persone, se sono bene fatte.
Per il discorso Sato, il problema è che il link non è più funzionante, ma dato che qualcuno le avrà scaricate a suo tempo, potrebbe uploadarle da qualche parte in modo che siano di nuovo reperibili...
Credo che possano interessare a diverse persone, se sono bene fatte.
Per il discorso Sato, il problema è che il link non è più funzionante, ma dato che qualcuno le avrà scaricate a suo tempo, potrebbe uploadarle da qualche parte in modo che siano di nuovo reperibili...
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Beh, lo Zaccagnini dice allora una grandissima stronzata! Ad esempio, $ F_1 = 2^2 + 1 = 5 $, e non mi pare proprio che sia $ 5 \equiv 1 \bmod 2^{1+2} $. Si tratterà di certo d'un refuso di stampa. A parte questo la tua dimostrazione è perfetta, info! Abbiamo avuto esattamente la stessa idea, sono incantato.info ha scritto:Leggendo alcune note di teoria dei numeri di tal Zaccagnini, ho trovato in fondo un esercizio che mi ha dato lo spunto per questo problema… Prima definisce I numeri di Fermat [...] e poi dice: dimostrare che se p/ F_n allora p = 1 mod 2^(n+2) [...]
Re: Senza usare il teorema di Dirichlet
Siano per assurdo $ p_1,\ldots,p_n $ tutti e soli i numeri di quella forma, allora se un primo $ q $ divide $ m:=5(2\prod{p_i})^2-1 $ sarà (dispari) e $ (\frac{5}{q})=1 \implies 10 \mid q^2-1 $. Ovviamente $ q \neq p_i $ per ogni i e se fossero tutti con resto 1 allora anche $ m $ avrebbe resto 1 mod 10. Ma $ 10 \mid m+1 $ cioè esiste almeno un altro primo $ q $ tale che $ \prod_{i=1}^n{(q-p_i)^2}>0 $ e $ 10 \mid q+1 $.HiTLeuLeR ha scritto:Problema #1: senza utilizzare il teorema di Dirichlet, provare ch'esistono infiniti primi naturali la cui rappresentazione decimale presenti il $ 9 $ come ultima cifra di destra.
Ps1. Mi sono tristemente autodimostrato anche ciò che chiedevo qui.
Si, quell'idea è bella, e anche molto conosciuta..HiTLeuLeR ha scritto:Problema #2: senza utilizzare il teorema di Dirichlet, provare che, per ogni $ n \in \mathbb{N}_0 $, esistono infiniti primi naturali $ p $ tali che $ 2^n \mid p-1 $.
Qui è stato dimostrato per vie elementari che , fissato $ n \in \mathbb{N} $, esistono infiniti primi naturali $ p $ tali che $ n \mid p-1 $.
The only goal of science is the honor of the human spirit.