Senza usare il teorema di Dirichlet

[HiTLeuLeR]

Problema #1: senza utilizzare il teorema di Dirichlet, provare ch'esistono infiniti primi naturali la cui rappresentazione decimale presenti il $ 9 $ come ultima cifra di destra.

[HumanTorch]

Premetto che sono completamente digiuno di teoria dei numeri e che il pranzo di Pasqua incombe ancora sulla capoccia: non vuole assolutamente essere una soluzione formale, ma une semplice ragionamento conb parecchie pecche.
Innanzitutto si supponga, per assurdo, che esista un numero primo P, maggiore di ogni altro che termina con un 9.
Detto ciò, possiamo scrivere tutti i successivi numeri terminanti con 9 in una sorta di crivello di Eratostene. Cominciando a eliminare i multipli di 3, quelli di 7 e così via: la somma di tutti i reciproci dei primi dende a pigreco^2/6, a cui si deve sottrarre 1/2 e 1/5: quindi che circa il 5,5 per cento dei numeri rimane scoperta: a
questa si vanno poi ad aggiungere i vari multipli di più primi, e quindi andando all'infinito, si hanno infiniti primi terminanti per 9, come per 7, per 1 e per 3.

[HiTLeuLeR]

Fosse stato scritto il primo d'aprile, avrei anche potuto giurare che si tratta soltanto d'uno scherzo, ma siccome (ahime'!!!) non è andata proprio così... pummmfff!!!

Premetto che sono completamente digiuno di teoria dei numeri e che il pranzo di Pasqua incombe ancora sulla capoccia: non vuole assolutamente essere una soluzione formale, ma une semplice ragionamento conb parecchie pecche.

D'accordo, ne prendo atto! Non sentirti pertanto in obbligo di ribadirlo più oltre, leggendo magari i miei commenti ai tuoi... ehmmm... deliri!?!?

[...] la somma di tutti i reciproci dei primi dende a pigreco^2/6, a cui si deve sottrarre 1/2 e 1/5: quindi che circa il 5,5 per cento dei numeri rimane scoperta: a questa si vanno poi ad aggiungere i vari multipli di più primi, e quindi andando all'infinito, si hanno infiniti primi terminanti per 9, come per 7, per 1 e per 3.

Cheeeeee?!? Ehmmm... Cosaaaaaa!?! Urgh! Dunque, vediamo un po'... Spe', mi riprendo con un bel bicchiere d'acqua e saccarosio! Seguono sosumi onomatopeici convenzionali: "Glugluglu... Aaaaaah!!!" Ok, va già mejo...

Punto primo: la serie dei reciproci di tutti i numeri primi naturali è divergente, altro che "dende a pi^2/6" (btw, si tratta dell'osservazione teorica alla base del celeberrimo proof di Eulero per il teorema d'Euclide sull'infinità dei numeri primi). Punto secondo: siamo nel forum dedicato alla TdN o in quello destinato alla statistica e al calcolo di probabilità e percentuali?!? Uhmmm... Qualcuno me lo conferma?!? Inizio a provare un senso di nausea commisto a un'indecifrabile disordine mentale...

[HiTLeuLeR]

Ne aggiungo un altro, risolto nottetempo per via di argomenti olimpici, e ne approfitto per tirare un po' su il topic.

Problema #2: senza usare il teorema di Dirichlet, provare che, per ogni $ n\in\mathbb{N} $, esistono infiniti primi naturali $ p $ tali che: $ p \equiv 1 \bmod 2^n $.

[info]

Leggendo alcune note di teoria dei numeri di tal Zaccagnini, ho trovato in fondo un esercizio che mi ha dato lo spunto per questo problema… Prima definisce I numeri di Fermat:

F_n = 2^2^(n) + 1

E poi dice: dimostrare che se p/ F_n allora p = 1 mod 2^(n+2)…

Continua con una traccia della soluzione. Purtroppo non riesco a seguire tutta la traccia dato che da un certo punto in poi mi sembra errata, cmq…

STEP1 : l’ordine moltiplicativo di 2 modulo p e 2^(n+1).

Dimo : 2^2^(n) + 1 = 0 mod p
2^2^(n) = - 1 mod p
2^2^(n+1) = 1 mod p da cui per le proprieta degli ordini moltiplicativi

ord_p (2) / 2^(n+1)

se fosse con k<n+1

ord_p (2) = 2^k --> 2^(2^k) == 1 --> [2^(2^k)]^[2^(n-k)] == 2^[(2^k)* 2^(n-k)] == 2^(2^n) == 1 contro le ipotesi da cui ord_p (2) = 2^(n+1) ovvero la tesi…

STEP 2 : per Fermat 2^(p-1) = 1 mod p e quindi

2^(n+1)/ (p-1) --> p= k*2^(n+1)+1--> p =1 mod 2^(n+1)

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lo STEP 1 era suggerito (non la dimo ovviamente che prob e errata ) dopo partiva con il simbolo di Lagrange ma mi sembrava che non funzionasse cio che proponeva di dimostrare… del resto nello STEP 2 io ho dimostrato meno di quanto si chiedeva, dato che vi e un n+1 invece di un n+2… cmq… stante quanto detto sopra considerato un F_n o questo e primo, oppure troviamo un primo = 1 mod 2^(n+1) che lo divide… dato che n e arbitrario lo possiamo rendere arbitrariamente grande e trovare infiniti primi della forma voluta…

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[moebius]

Info, mi diresti dove hai reperito le note a cui facevi riferimento? Io ho cercato in rete ma trovo solo link non funzionanti
A questo punto sono quantomeno curioso di leggerle, visto che nella ricerca è saltato fuori che il tipo in questione si occupa di un sacco di cose interessanti

P.S.: Sarebbe il caso di aggiungerle nei link di materiale reperibile in rete insieme (magari) ad un link funzionante per le dispense di Sato?

[info]

ehm... non saprei... le avevo scaricate mesi fa e le stavo leggendo in un momento di scazzo... cerca ancora... avrei grossi problemi a spedirtele (diamine: perche non fanno piu i PC con i dischetti??)... fammi sapere se trovi qualcosa... se riesco a trovare io ti do il link...

[moebius]

Mi hai frainteso. Io volevo solamente dire che se ti sembravano interessanti potevi postare un link dove gli interessati potevano andarsele a prendere (c'è pure una sezione apposita del forum, che contiene diversi link).
Credo che possano interessare a diverse persone, se sono bene fatte.
Per il discorso Sato, il problema è che il link non è più funzionante, ma dato che qualcuno le avrà scaricate a suo tempo, potrebbe uploadarle da qualche parte in modo che siano di nuovo reperibili...

[info]

Cercavo solo di essere gentile ...

cmq ripeto... se non le trovi e possibile che non siano piu on-line... e io non ho le possibilita di 'uploadarle'...

[moebius]

Cercavo solo di essere gentile ...

Pure io

[info]

Ok... ora basta con le gentilezze pero!!! Che poi mi imbarazzo, eh!...

[Lafforgue]

Potrebbero essere queste

[HiTLeuLeR]

Leggendo alcune note di teoria dei numeri di tal Zaccagnini, ho trovato in fondo un esercizio che mi ha dato lo spunto per questo problema… Prima definisce I numeri di Fermat [...] e poi dice: dimostrare che se p/ F_n allora p = 1 mod 2^(n+2) [...]

Beh, lo Zaccagnini dice allora una grandissima stronzata! Ad esempio, $ F_1 = 2^2 + 1 = 5 $, e non mi pare proprio che sia $ 5 \equiv 1 \bmod 2^{1+2} $. Si tratterà di certo d'un refuso di stampa. A parte questo la tua dimostrazione è perfetta, info! Abbiamo avuto esattamente la stessa idea, sono incantato.

[jordan]

Problema #1: senza utilizzare il teorema di Dirichlet, provare ch'esistono infiniti primi naturali la cui rappresentazione decimale presenti il $ 9 $ come ultima cifra di destra.

Siano per assurdo $ p_1,\ldots,p_n $ tutti e soli i numeri di quella forma, allora se un primo $ q $ divide $ m:=5(2\prod{p_i})^2-1 $ sarà (dispari) e $ (\frac{5}{q})=1 \implies 10 \mid q^2-1 $. Ovviamente $ q \neq p_i $ per ogni i e se fossero tutti con resto 1 allora anche $ m $ avrebbe resto 1 mod 10. Ma $ 10 \mid m+1 $ cioè esiste almeno un altro primo $ q $ tale che $ \prod_{i=1}^n{(q-p_i)^2}>0 $ e $ 10 \mid q+1 $.

Ps1. Mi sono tristemente autodimostrato anche ciò che chiedevo qui.

Problema #2: senza utilizzare il teorema di Dirichlet, provare che, per ogni $ n \in \mathbb{N}_0 $, esistono infiniti primi naturali $ p $ tali che $ 2^n \mid p-1 $.

Si, quell'idea è bella, e anche molto conosciuta..
Qui è stato dimostrato per vie elementari che , fissato $ n \in \mathbb{N} $, esistono infiniti primi naturali $ p $ tali che $ n \mid p-1 $.