Eccovene uno (secondo me) impegnativo proveniente dalle olimpiadi russe.
Trovare tutte le soluzioni razionali positive dell'equazione: $ x^{y} = y^{x} $
x^y = y^x
Ah, i ricordi...
Toh!? Il problema di Eulero... Ogni tanto ritorna, a quanto pare! Ricordo ch'io stesso tentai (con insuccesso... 
) di risolverlo, su questo stesso forum (o meglio, sul vecchio), quand'ancora poco più ero che un pargolo sconcertato e confuso (più o meno, 400 giorni orsono!!!) dinanzi alla magnificenza di certi luoghi della Matematica. Oooh... Scusatemi, ma non riesco quasi a trattenermi dalle lagrime, la commozione è troppo forte... 
La commozione cerebrale, intendo!!! 
) di risolverlo, su questo stesso forum (o meglio, sul vecchio), quand'ancora poco più ero che un pargolo sconcertato e confuso (più o meno, 400 giorni orsono!!!) dinanzi alla magnificenza di certi luoghi della Matematica. Oooh... Scusatemi, ma non riesco quasi a trattenermi dalle lagrime, la commozione è troppo forte... La commozione cerebrale, intendo!!! Vabbe', ecco la soluzione!
Se $ x = y $, con $ y\in\mathbb{Q}^+ $, l'equazione è banalmente soddisfatta. Wlog, viste le simmetrie del problema, sia dunque per il seguito $ 0 < y < x $. Posto $ k := \dfrac{x}{y} $, osserviamo che $ k\in\mathbb{Q}^+ $, quando $ x, y \in\mathbb{Q}^+ $, e che inoltre $ k > 1 $, per aver supposto $ 0 < y < x $. Esistono perciò univocamente determinati $ m, n\in\mathbb{N}_0 $, con $ m > n $, tali che: $ k = \dfrac{x}{y} = \dfrac{m}{n} $ e $ \gcd(m,n) = 1 $.
Ne consegue che: $ x^y = y^x $ sse: $ (ky)^y = y^{ky} $, o equivalentemente sse: $ k = y^{k-1} $, dacché le basi sono positive. Di qui, essendo $ k > 1 $: $ y = k^{1/(k-1)}\mbox{ ed }x = ky = k^{k/(k-1)} $, ovvero: $ y = \left(\dfrac{m}{n}\right)^{n/(m-n)} $ ed $ x = \left(\dfrac{m}{n}\right)^{m/(m-n)} $. Si tratta a questo punto di stabilire condizioni necessarie sugli interi $ m, n\in\mathbb{N}_0 $ tali che le "espressioni" di $ x $ ed $ y $ così determinate rappresentino effettivamente dei numeri razionali.
Poiché per ipotesi si assume $ \gcd(m,n) = 1 $, è subito dedotto che: $ \gcd(m,m-n) = \gcd(n,m-n) = 1 $, e pertanto $ x $ ed $ y $ sono razionali solo se, essendo $ \alpha := \max\{r\in\mathbb{N}_0: \exists^{\mbox{no}} u, v \in\mathbb{N}_0 $ t.c. $ m = u^r\mbox{ }\wedge\mbox{ } n = v^r\} $, avviene che: $ (m - n) \mid \alpha $.
Ebbene, osservando che risulta $ \alpha \geq 1 $, ammettiamo per assurdo $ m - n \geq 2 $. E allora nondimeno $ \alpha \geq 2 $. Se dunque $ m = u^\alpha $ ed $ n = v^\alpha $, ove $ u, v\in\mathbb{N}_0 $, in tutta evidenza: $ m - n = u^\alpha - v^\alpha \geq (v+1)^\alpha - v^\alpha > \alpha $, perciocché: $ (m-n) \nmid \alpha $, e dunque $ x $ ed $ y $ sono irrazionali (btw, basti applicare il teorema del binomiale di Newton).
Se quindi $ x, y\in\mathbb{Q}^+ $, necessariamente (*) $ m - n = 1 $, ovvero $ m = n+1 $, donde: $ x = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n+1} $ ed $ y = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} $. Dopo una rapida verifica per sostituzione, se ne deduce finalmente che le soluzioni in numeri razionali positivi dell'equazione: $ x^y = y^x $ sono tutte e sole della forma $ (x,y) = (q,q) $, con $ q\in\mathbb{Q}^+ $, oppure $ \displaystyle{(x,y) = \left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}, \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)}\, $, o ancora $ \displaystyle{(x,y) = \left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}, \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\right)}\, $, con $ n\in\mathbb{N}_0 $.
(*): avendo supposto $ m > n $, con $ m, n\in\mathbb{N}_0 $, è chiaro che $ m - n $ debba essere infatti un intero positivo...
Ne consegue che: $ x^y = y^x $ sse: $ (ky)^y = y^{ky} $, o equivalentemente sse: $ k = y^{k-1} $, dacché le basi sono positive. Di qui, essendo $ k > 1 $: $ y = k^{1/(k-1)}\mbox{ ed }x = ky = k^{k/(k-1)} $, ovvero: $ y = \left(\dfrac{m}{n}\right)^{n/(m-n)} $ ed $ x = \left(\dfrac{m}{n}\right)^{m/(m-n)} $. Si tratta a questo punto di stabilire condizioni necessarie sugli interi $ m, n\in\mathbb{N}_0 $ tali che le "espressioni" di $ x $ ed $ y $ così determinate rappresentino effettivamente dei numeri razionali.
Poiché per ipotesi si assume $ \gcd(m,n) = 1 $, è subito dedotto che: $ \gcd(m,m-n) = \gcd(n,m-n) = 1 $, e pertanto $ x $ ed $ y $ sono razionali solo se, essendo $ \alpha := \max\{r\in\mathbb{N}_0: \exists^{\mbox{no}} u, v \in\mathbb{N}_0 $ t.c. $ m = u^r\mbox{ }\wedge\mbox{ } n = v^r\} $, avviene che: $ (m - n) \mid \alpha $.
Ebbene, osservando che risulta $ \alpha \geq 1 $, ammettiamo per assurdo $ m - n \geq 2 $. E allora nondimeno $ \alpha \geq 2 $. Se dunque $ m = u^\alpha $ ed $ n = v^\alpha $, ove $ u, v\in\mathbb{N}_0 $, in tutta evidenza: $ m - n = u^\alpha - v^\alpha \geq (v+1)^\alpha - v^\alpha > \alpha $, perciocché: $ (m-n) \nmid \alpha $, e dunque $ x $ ed $ y $ sono irrazionali (btw, basti applicare il teorema del binomiale di Newton).
Se quindi $ x, y\in\mathbb{Q}^+ $, necessariamente (*) $ m - n = 1 $, ovvero $ m = n+1 $, donde: $ x = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n+1} $ ed $ y = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} $. Dopo una rapida verifica per sostituzione, se ne deduce finalmente che le soluzioni in numeri razionali positivi dell'equazione: $ x^y = y^x $ sono tutte e sole della forma $ (x,y) = (q,q) $, con $ q\in\mathbb{Q}^+ $, oppure $ \displaystyle{(x,y) = \left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}, \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)}\, $, o ancora $ \displaystyle{(x,y) = \left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}, \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\right)}\, $, con $ n\in\mathbb{N}_0 $.
(*): avendo supposto $ m > n $, con $ m, n\in\mathbb{N}_0 $, è chiaro che $ m - n $ debba essere infatti un intero positivo...