Zeri in coda ai fattoriali [era: Quesito mattutino]

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Lex
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Zeri in coda ai fattoriali [era: Quesito mattutino]

Messaggio da Lex » 08 mar 2005, 10:19

Ciao, stamattina sono a casa da scuola causa riunione dei professori, mentre bazzicavo un po' in internet ho trovato un sito con qualche domandina semplice semplice, ve ne passo una tanto per aprire un post qua:

Quanti 'zero' finali ha il prodotto dei primi 1000 numeri interi?
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Marco
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Messaggio da Marco » 08 mar 2005, 10:31

Ciao. Ho spostato qui il filo, perché, più che matematica ricreativa in senso lato, questo è decisamente vero e proprio pb.-sv'ing olimpico. Si tratta di un esercizio "classico", non troppo difficile e decisamente interessante. Un "bravo" per averlo proposto.

Inoltre, mi sono permesso di cambiare il titolo, in modo che sia un po' più esplicativo. Magari, in futuro, cerca di dare titoli un po' più aderenti al contenuto...

Ad ogni modo, benvenuto sul Forum.

Ciao. M.
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pps
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Messaggio da pps » 08 mar 2005, 10:36

sono 245, se non ho contato male...
Thanks to Joim

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Messaggio da Marco » 08 mar 2005, 10:40

...credo che hai contato male...

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Messaggio da HiTLeuLeR » 08 mar 2005, 12:57

Ummarò, perché non v'andate a cercare l'identità di Legendre-De Polignac, uh?!? :mrgreen:

fph
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Messaggio da fph » 08 mar 2005, 13:08

HiTLeuLeR ha scritto:Ummarò, perché non v'andate a cercare l'identità di Legendre-De Polignac, uh?!? :mrgreen:
...perche' e' piu' divertente (e istruttivo) se provano a risolverli da soli :-)
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Messaggio da HiTLeuLeR » 08 mar 2005, 13:31

Forse tieni ragione, fph... Ma dopo essersi divertiti ad libitum, se la cercassero comunque, quella simpatica identità: potrebbe essergli parecchio utile, in vista delle gare... :wink:

Loth
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Messaggio da Loth » 08 mar 2005, 14:51

Allora, il fattoriale ha tanti zeri finali quante le volte che e' divisibile per 10=2*5.
Ogni numero multiplo di 5 e non superiore di 1000 apporta una fattore 5 al prodotto. Questi sono 1000/5 = 200.
Allo stesso modo ogni numero divisibile per 25: 1000/25 = 40.
E cosi' per 125: 1000/125 = 8.
E anche per 625: [1000/625] = 1.

Si osserva che di fattori 2 ne abbiamo in abbondanza (ci sono 500 numeri pari non superiori di 1000).

In totale quindi gli zeri (sono|dovrebbero essere) 249.

Volendo (brutalmente) generalizzare:
Zeri finali in n! = $ $$\displaystyle{\sum_{i=1}^{\lfloor\\lg_5{n}\rfloor} \lfloor\frac{n}{5^i}\rfloor}$$ $



--
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Messaggio da pps » 08 mar 2005, 15:29

ehm... avevo contato 1000/125 = 4 :oops: :oops: :oops:
Thanks to Joim

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Messaggio da HiTLeuLeR » 08 mar 2005, 16:06

Loth ha scritto:zeri finali di $ n! = \displaystyle{\sum_{i=1}^{\lfloor\\lg_5{n}\rfloor} \lfloor\frac{n}{5^i}\rfloor} $
Toh, ma guarda?! L'identità di Legendre-De Polignac particolarizzata al caso $ p = 5 $!!! Beh, ti meriti quantomeno un "bravo" per averla riscoperta, ecco... 8)

Loth
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Messaggio da Loth » 08 mar 2005, 18:32

HiTLeuLeR ha scritto:Toh, ma guarda?! L'identità di Legendre-De Polignac particolarizzata al caso $ p = 5 $!!! Beh, ti meriti quantomeno un "bravo" per averla riscoperta, ecco... 8)
Sto per stampare questo messaggio per metterlo in cornice :mrgreen:

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karl
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Messaggio da karl » 08 mar 2005, 19:58

leggo su di un altro sito ( vedi http://utenti.lycos.it/acmatematica/difficolta2m.htm
che il numero di zeri in questione e' 248 e non 249.
Probabilmente 625 va scartato visto che 625*16>1000.
Ultima modifica di karl il 08 mar 2005, 20:14, modificato 2 volte in totale.

Loth
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Messaggio da Loth » 08 mar 2005, 20:04

karl ha scritto:leggo su di un altro sito ( vedi http://utenti.lycos.it/acmatematica/difficolta2m.htm)
che il numero di zeri in questione e' 248 e non 249.
Probabilmente 625 va scartato visto che 625*16>1000.
Mmm, non mi e' chiaro perche' dovrebbe essere escluso se moltiplicato per 16 supera 1000.
625 in ogni caso apporta 4 fattori '5' al prodotto.

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Poliwhirl
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Messaggio da Poliwhirl » 08 mar 2005, 20:08

Il link non funziona perché comprende anche la parentesi finale...Comunque la risposta dovrebbe essere 249. Convinciti con la "pratica" :lol: : se hai Derive, prova a svolgere $ \frac{1000!}{10^{248}} $; il risultato ha un zero finale, quindi la risposta al quesito dovrebbe essere proprio 249.

Bye,
#Poliwhirl#

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Messaggio da pps » 08 mar 2005, 20:11

pare si siano dimenticati il 625...
Thanks to Joim

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