Adesso vi faccio divertire coi numeri armonici

[HiTLeuLeR]

E' tutta colpa di ^spider^, se mi sono scritto e risolto questo problema (che naturalmente vi ripropongo)! E' con lui che dovete prendervela...

Problema #1: sia $ \{\mathcal{H}_n: n\in\mathbb{N}_0\} $ la sequenza dei numeri armonici, definita ponendo $ \displaystyle{\mathcal{H}_n := \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}} $, per tutti gli $ n\in\mathbb{N}_0 $. Posto $ \displaystyle{\mathcal{H}_n := \frac{a_n}{b_n}} $, per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $, ove $ a_n,b_n $ sono interi positivi coprimi fra loro, dimostrare ch'esistono infiniti $ p\in\mathfrak{P} $ per cui l'insieme $ \mathcal{A}_p := \{n\in\mathbb{N}_0: p \mid a_n\} $ possiede un numero finito di elementi.