Ok, adesso mi ci metto con impegno, Marco! Siccome mi piace capire fino in fondo quel che leggo, sei avvisato del fatto che ti tempesterò di domande (per lo più stupide) e che non andrò avanti nella lettura fintanto che non avrò chiari i passi che, per la mia pochezza, avessero a risultarmi oscuri. Siamo intesi, no?!? Bene...
Marco ha scritto:
Il prodotto di un non quadrato con un quadrato non nullo mod q è un non quadrato.
Uhm... "Se $ a,b\in\mathbb{N} $, $ q \nmid b $ ed $ a $ non è un quadrato perfetto, ossia è un non quadrato, allora $ ab^2 $ è pure un non quadrato." E' questo? Beh, sì, vero... Non capisco tuttavia il bisogno di metterci in mezzo un modulo, visto che la condizione è parimenti soddisfatta purché sia $ b > 0 $. Boh, a tratti ho come il dubbio di aver frainteso il tutto...
O forse devo intendere che, se $ a $ è un non quadrato (i.e., non è un quadrato perfetto) e $ b $ è coprimo con $ q $, allora non esiste alcun $ x\in\mathbb{Z} $ tale che: $ ab^2 \equiv x^2\bmod q $ ?!? Uh, mi pare improbabile che il senso sia questo, ché la condizione dichiarata è chiaramente falsa. Del resto, è anche verosimile pensare che tu abbia scelto di particolarizzare il tutto ai quadrati non nulli $ \mod q $ per consistenza con il seguito del tuo discorso, ecco... Uffa, però, già m'impunto su una tale sciocchezza, vedi? Ti va di illuminarmi, sicché possa procedere?!? Grassie...
Marco ha scritto:[...] fissato un non quadrato $ a $ esiste un unico modo per scrivere i non quadrati nella forma $ aq $, con $ q $ quadrato non nullo.
Qui andiamo persino peggio, e di certo il pasticcio notazionale non mi aiuta... Non è assolutamente credibile che la condizione da te indicata debba intendersi soddisfatta sull'anello degli interi ordinari. Dunque non resta che inquadrarne il significato in seno all'anello $ \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} $ degli interi $ \bmod\;\! q $. Dimmi pertanto se ho capito bene...
Posto $ R := \{1, 2, \ldots, q-1\} $, siano $ Q := \{u\in R: u \mbox{ è un quadrato perfetto in }\mathbb{N}\} $ e $ S := R \setminus Q $. E allora, fissato $ a\in S $, la mappa $ \psi_1(\cdot): Q \mapsto R: u \mapsto au $, o forse la mappa $ \psi_2(\cdot): Q \mapsto R: u \mapsto au\bmod q $, è una biezione di $ Q $ in $ S $. Ci ho preso? Oppure me ne sono partito per una tangente? In fondo, se fosse così, non mi stupirei affatto... Del resto, l'una e l'altra ipotesi non hanno alcun riscontro, per cui non so proprio cosa immaginarmi!
Bon, speriamo che giungano presto chiarimenti, perché in caso contrario temo che non riuscirò proprio a portarmi avanti nella lettura, sigh...