Fibonacci Numbers

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Mattysal
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Fibonacci Numbers

Messaggio da Mattysal » 27 ago 2020, 14:29

Sia $n$ un intero positivo tale che la somma dei quadrati dei divisori interi positivi di $n$ sia uguale a $n(n+3)$.
Dimostrare che $n$ è il prodotto di due numeri di Fibonacci

Maionsss
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Re: Fibonacci Numbers

Messaggio da Maionsss » 29 ago 2020, 22:23

Faccio prima la parte "facile" del problema e appena ho un po' di tempo posto la bozza della dimostrazione della parte finale
Testo nascosto:
Siano $1=d_1<d_2<.....<d_{k-1}<d_k=n$ i divisori di $n$ in ordine crescente. Riscriviamo quindi l'ipotesi come $ 1+d_2^2+....+d_{k-1}^2+n^2=n^2+3n$ ovvero $1+d_2^2+....+d_{k-1}^2=3n$. Scegliamo le coppie di divisori $d_j, d_{k+1-j}$ ovvero le coppie di divisori il cui prodotto è $n$: per AM-GM abbiamo $d_j^2+d_{k+1-j}^2\ge2\sqrt{d_j^2d_{k+1-j}^2}=2\sqrt{d_j^2\frac{n^2} {d_j^2}} =2n$. Otteniamo quindi che $n$ possiede al massimo 4 divisori interi positivi. Esaminiamo i vari casi possibili:
1) $n=p$ con p primo. $1+p^2=3p+p^2$, impossibile
2) $n=p^2$ con p primo. $ 1+p^2=3p^2$, impossibile
3) $n=p^3$ con p primo. $ 1+p^2+p^4=3p^3$,impossibile.
4) Resta quindi da discutere il caso con $n=pq$ con p, q primi.
Ne segue $1+p^2+q^2=3pq$ ;
L'equazione è quadratica e simmetrica in p e q ; essendo p e q interi il discriminante deve essere un quadrato perfetto, quindi : $5q^2-4=a^2$ e $5p^2-4=b^2$. Si può dimostrare che l'equazione di Pell $x^2-5y^2=-4$ ha per soluzioni le coppie $(x, y) $ dove x è un numero di Lucas e y un numero di Fibonacci. Ricordando che le nostre "y" sono p e q e che n =pq, segue la tesi

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