Successioni

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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dalferro11
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Successioni

Messaggio da dalferro11 » 13 ago 2020, 22:57

Spero di essere nella sezione giusta.

Data la successione per ricorrenza:
G(0)=8
G(n+1)=3G(n)-6n
Trovarne la formula chiusa.
Grazie per l'aiuto.

Anche questa.

F(n+3)=5F(n+2)-7F(n+1)+3F(n)
F(0)=8
F(1)=24
F(2)=66
la mancanza di cultura matematica si manifesta drasticamente nell'eccessiva precisione di calcolo.

K. F. Gauss

PIELEO13
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Re: Successioni

Messaggio da PIELEO13 » 18 ago 2020, 19:16

Allora rispondo solo alla prima successione:
[math]
Ecco un metodo che funziona:
STEP 1
Cominciamo considerando la successione omogenea associata, dove per omogenea intendo senza [math]. Dunque [math]
Risolviamo prima questa successione per ricorrenza nella sua forma generale. Questa è una geometrica e la soluzione generale si vede facilmente che é [math] e ovviamente dipende dal valore iniziale [math].
STEP 2
Troviamo una soluzione particolare della successione [math]. Mi spiego meglio: cerchiamo una funzione [math] tale che [math]. La ragione per cui lo facciamo sarà (poco) chiara più avanti. Comunque visto che nella successione compare un [math] potrei provare a cercare una funzione che sia un polinomio in [math]. Per esempio scriviamo [math] (in questo caso basta di primo grado) dove [math] e [math] li calcoliamo ora in modo che funzionino.
Deve valere [math], cioè [math] per ogni [math]. Fai i conti e vedi che [math] e [math].
STEP 3
Per una ragione misteriosa consideriamo ora [math], cioè la somma della soluzione della successione omogenea associata + una soluzione particolare della non omogenea. Ricordiamoci che [math] da cui [math] cioè [math]. Abbiamo ora ottenuto [math].
STEP 4
Dimostriamo che [math] funziona.
[math] lo abbiamo già verificato.
[math].

Va beh l'ho fatta lunga con i conti su quest'ultima verifica, ma solo per enfatizzare il fatto che la verifica è importante visto che fondamentalmente ti ho raccontato un metodo per trovare le soluzioni senza dimostrarti che funziona nella sua generalità. (Hint: linearità).
I motivi per cui vale li puoi trovare spiegati al seguente sito http://pagine.dm.unipi.it/gobbino/Home_ ... ttico.html nella sezione Analisi 1 matematica anno 2016/2017, lezioni 84/85 in poi. Ci sono pure le video lezioni.

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