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Un vecchio classico

Inviato: 16 mag 2020, 18:52
da TeoricodeiNumeri
Mostrare che per ogni $n\geq 2$ naturale si ha che l'espressione
\begin{equation}
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}
\end{equation}
non è un numero intero.

Re: Un vecchio classico

Inviato: 16 mag 2020, 20:05
da Luca Milanese
Testo nascosto:
Per prima cosa faccio a mano i casi [math] ed [math], ottenendo rispettivamente [math] e [math]. Sia per il seguito [math].

Riscriviamo la somma come

[math]

Sia [math] il più grande primo [math]. Per il Postulato di Bertrand, si ha [math], e quindi, per l'identità di Legendre-de Polignac:

[math]

Quindi [math], e pertanto [math] divide il denominatore ma non il numeratore di [math], che perciò non è intero.

Re: Un vecchio classico

Inviato: 17 mag 2020, 09:27
da TeoricodeiNumeri
Ho visto la soluzione. Molto bravo! Tra l'altro ad aver trovato questa stessa soluzione (o una simile) c'è il prof. Pete L. Clark, come lui stesso racconta in "A contemporary introduction to modern Number Theory", una dispensa che potete trovare sul suo sito.
Comunque c'è una soluzione che non richiede di alcun risultato particolare di TdN...

Re: Un vecchio classico

Inviato: 17 mag 2020, 23:42
da Fenu
la stessa ma con il fattore 2. Esiste un unico fattore con valutazione $2$-adica maggiore quindi denom e num non si semplificano (in particolare uscirebbe $\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$ con $a, b$ dispari)

Re: Un vecchio classico

Inviato: 17 mag 2020, 23:47
da TeoricodeiNumeri
Esatto! Non mi è chiaro solo quando dici che uscirebbe $a/b=1/2$ ma l'idea è quella che hai detto.

Re: Un vecchio classico

Inviato: 25 mag 2020, 13:02
da Mattysal
TeoricodeiNumeri ha scritto:
16 mag 2020, 18:52
Mostrare che per ogni $n\geq 2$ naturale si ha che l'espressione
\begin{equation}
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}
\end{equation}
non è un numero intero.
Bonus
Dimostrare che per ogni $n\geq 1$ naturale si ha che l’espressione
\begin{equation}
1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n+1}
\end{equation}
non è un numero intero.

Re: Un vecchio classico

Inviato: 25 mag 2020, 20:04
da TeoricodeiNumeri
Testo nascosto:
Il ragionamento credo che sia lo stesso presentato da Fenu per il problema precedente ma fatto rispetto al primo 3...