potenze
Inviato: 21 gen 2020, 22:21
Dimostrare che se $b > 1$ e $b^m < y$ allora $b^{m+\frac{1}{n}} < y$ per $n$ sufficientemente grande.
Testo nascosto:
Scrivere [math] b^{m+ \frac {1} {n}} equivale a scrivere [math]b^m \cdot \sqrt [n] {b}
Poniamo $ x = b^m \cdot \sqrt [n] {b} $.
Poiché per ipotesi [math]b^m<y allora varrà equivalentemente [math]b^m +1 \le y poiché utilizziamo numeri interi. Ponendo quindi la condizione [math]x<b^m + 1 \le y si otterrà la tesi. Da quest'ultima condizione otteniamo
[math]b^m \cdot \sqrt [n] {b} < b^m +1 \\\\
\sqrt [n] {b} < \frac {b^m+1} {b^m}
[math]b < (1+ \frac {1} {b^m})^n
Questa disuguaglianza è vera [math]\forall n \ \in \Bbb {N}|n>log_{(1+ \frac {1} {b^m} )} (b).
Spero che basti dire quest'ultima cosa per dimostrarlo.
Poniamo $ x = b^m \cdot \sqrt [n] {b} $.
Poiché per ipotesi [math]b^m<y allora varrà equivalentemente [math]b^m +1 \le y poiché utilizziamo numeri interi. Ponendo quindi la condizione [math]x<b^m + 1 \le y si otterrà la tesi. Da quest'ultima condizione otteniamo
[math]b^m \cdot \sqrt [n] {b} < b^m +1 \\\\
\sqrt [n] {b} < \frac {b^m+1} {b^m}
[math]b < (1+ \frac {1} {b^m})^n
Questa disuguaglianza è vera [math]\forall n \ \in \Bbb {N}|n>log_{(1+ \frac {1} {b^m} )} (b).
Spero che basti dire quest'ultima cosa per dimostrarlo.