Diofantea con divisori (facile)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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The Scrasse
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Diofantea con divisori (facile)

Messaggio da The Scrasse » 01 gen 2020, 12:27

Siano $1 = d_1 < d_2 < \dots < d_i = n$ i divisori di $n$ ($n$ intero positivo). Trovare tutte le soluzioni di $$n = \binom{d_3}{d_2} + 3d_2^2d_3 + 7$$.

The Scrasse
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Re: Diofantea con divisori (facile)

Messaggio da The Scrasse » 02 gen 2020, 11:09

Vi lascio qualche hint...
Hint 1
Testo nascosto:
$d_3$ è ... oppure ...
Hint 2
Testo nascosto:
Guarda l'uguaglianza modulo $d_2$ o modulo $d_3$

Galgo
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Re: Diofantea con divisori (facile)

Messaggio da Galgo » 02 gen 2020, 17:27

Testo nascosto:
Notiamo che $d_2\in\mathbb{P}$, dove $\mathbb{P}$ è l'insieme dei numeri primi in quanto $d_2\neq n$ e che $d_3=d_2^2 \lor d_3 \in \mathbb{P}$ , difatti, se così non fosse, $d_3\neq d_2^2 \land d_3 \not \in \mathbb{P} \implies \exists x,y \in \mathbb{N} \setminus \{1,n\}: d_3 = xy \implies x\mid n \land y\mid n \land x,y \neq d_2 \land x,y < d_3$, assurdo.
Consideriamo il caso in cui $d_3\in\mathbb{P}$. È evidente che $d_3\mid \binom{d_3}{d_2} \implies d_3 \mid 7 \implies d_3=7 \implies d_2 \in \{2,3,5\} \implies n\in\{112,231,553\}$. Sostituendo questi valori di $n$ si nota che va bene solo $231$.
Consideriamo ora il caso in cui $d_3=d_2^2$. $v_{d_2}\binom{d_2^2}{d_2}=v_{d_2}((d_2^2)!)-v_{d_2}(d_2!)-v_{d_2}((d_2^2-d_2)!)=3-1-1=1 \implies d_2\mid\binom{d_2^2}{d_2}$ $\implies d_2\mid 7 \implies d_2=7\implies d_3=49\implies n=\binom{49}{7}+7210$. Notiamo che $49\nmid \binom{49}{7}+7210$, quindi l'unica soluzione è $231$.
Ultima modifica di Galgo il 02 gen 2020, 23:23, modificato 1 volta in totale.

The Scrasse
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Re: Diofantea con divisori (facile)

Messaggio da The Scrasse » 02 gen 2020, 21:20

Esatto

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