Primi non quadrati via alternativa (Cesenatico $2$)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Lasker
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Primi non quadrati via alternativa (Cesenatico $2$)

Messaggio da Lasker » 23 dic 2019, 15:32

Visto che il forum è un po' morto, vi posto degli hint per la soluzione alternativa segreta ( :shock: ) del Cesenatico $2$ dell'anno scorso (la mia proposta :oops: ), nel caso qualcuno volesse cimentarsi.

Dimostrare che se $p+q^2$ è un quadrato perfetto, allora $p^2+q^n$ non lo è per nessun $n$.
Testo nascosto:
Provate a vedere modulo $p$ e modulo $q$ cosa succede
Testo nascosto:
Residui quadratici? Com'era quella storia dei simboli di Legendre e le loro proprietà?
Testo nascosto:
Usate la legge di reciprocità quadratica nel caso in cui $p$ e $q$ sono entrambi dispari, e vedete che cosa esce :mrgreen:
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

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Re: Primi non quadrati via alternativa (Cesenatico $2$)

Messaggio da Luca Milanese » 26 dic 2019, 18:13

    A quel problema ottenni solo due punti... vediamo se riesco a riscattarmi. :lol:
    Testo nascosto:
    Scriviamo [math] e [math], con [math]. Osserviamo subito che [math]: in caso contrario la prima equazione non tornerebbe modulo [math]. D'altronde, anche [math]: se così non fosse, si avrebbe, sempre dalla prima equazione, [math], da cui, per primalità di [math], segue [math], [math]. Dunque, dalla seconda equazione, si avrebbe [math], ma si verifica facilmente che non esistono potenze di [math] la cui differenza è [math]. Quindi [math] e [math] sono dispari, e perciò [math] e [math] sono pari. Poichè il quadrato di un pari è congruente a [math] e il quadrato di un dispari è congruente a [math] modulo [math], nella prima equazione deve aversi [math], cioè [math], e nella seconda [math]. Per quanto detto prima, dall'ultima congruenza scritta segue [math] dispari, [math]. Dalla legge di reciprocità quadratica abbiamo che, per due primi dispari [math] e [math] distinti, [math], dove le parentesi indicano il simbolo di Legendre. Essendo [math], si ottiene [math]. Tornando alla prima equazione, [math], quindi [math], e perciò sarà [math]. D'altronde, dalla seconda equazione, [math], perciò [math]. Poichè il simbolo è una funzione completamente moltiplicativa nel suo argomento superiore, posso scrivere [math], da cui segue [math], ma dalla definizione del simbolo di Legendre segue che questa uguaglianza è falsa, essendo [math] dispari e dunque [math] pari.

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    Lasker
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    Re: Primi non quadrati via alternativa (Cesenatico $2$)

    Messaggio da Lasker » 06 gen 2020, 21:40

    Non avevo visto (e non mi aspettavo che qualcuno provasse così in fretta)!
    La tua soluzione mi sembra proprio funzionare, mi dispiace che non ti sia riuscito in gara :oops: per quanto mi riguarda ti sei riscattato :mrgreen:
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    Re: Primi non quadrati via alternativa (Cesenatico $2$)

    Messaggio da Luca Milanese » 06 gen 2020, 22:13

    Grazie. :D

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