n tale che esista m

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Luca Milanese
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n tale che esista m

Messaggio da Luca Milanese » 15 set 2019, 20:58

Questo problema fu postato sul forum un po' di anni fa, ma nessuno rispose mai con una soluzione completa. L'ho trovato davvero istruttivo, quindi ve lo ripropongo:
Determinare tutti gli n interi positivi tali che esista m intero per cui [math].
Buon lavoro^3.

Luca Milanese
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Re: n tale che esista m

Messaggio da Luca Milanese » 18 set 2019, 14:04

Lascio un hint:
Testo nascosto:
Cosa si può dire dei divisori primi di un numero della forma [math]?

Luca Milanese
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Re: n tale che esista m

Messaggio da Luca Milanese » 17 ott 2019, 17:35

UP!

Maionsss
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Re: n tale che esista m

Messaggio da Maionsss » 14 apr 2020, 23:36

Luca Milanese ha scritto:
17 ott 2019, 17:35
UP!
n potenza di 2?

Luca Milanese
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Re: n tale che esista m

Messaggio da Luca Milanese » 15 apr 2020, 08:19

Giusto! Vai con la dimostrazione.

Maionsss
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Re: n tale che esista m

Messaggio da Maionsss » 15 apr 2020, 14:26

Testo nascosto:
Dimostro innanzitutto che non esiste $ x >1$ dispari tale che $ x|n $. Supponiamo per assurdo che esista un tale $x$ , allora avremmo : $ x \ge3$ e quindi $2^{x} -1 \equiv3 \pmod{4}$ e ciò ci assicura che esiste $p\in \mathbb{P}$ con $p \equiv3\pmod{4}$ tale che $p|2^{x} -1$. Poiché $2^{x}-1 | 2^{n} -1 | m^{2} +3^{2}$ abbiamo che $p| m^{2} + 3^{2}$ che , insieme a $p\equiv3\pmod{4} $ ci dice (per un fatto abbastanza noto) che $p|3$ quindi $p=3$; siamo giunti ad un assurdo in quanto $3\not| 2^{x} -1\equiv1\pmod3$
Mostriamo ora che detto $n=2^{k} \exists m \in\mathbb{Z} : 2^{2^{k}} -1| m^{2} +9$. Procedo per induzione su $k$ :
Passo base) Per $k=1$ basta prendere $m \equiv0\pmod{3}$.
Passo induttivo) Osserviamo innanzitutto che posso scrivere $ 2^{2^{k+1}}-1=(2^{2^{k}} +1)(2^{2^{k}}-1)$. Ora, esiste $a$ intero tale che $2^{2^{k}}-1 | a^{2}+9$ per ipotesi induttiva , mentre mi basta prendere $b=3 \times (2^{2^{k-1}})$ per avere $2^{2^{k}} +1| b^{2}+9$. Utilizziamo infine il Teorema Cinese del Resto per dire che $\exists m: m\equiv{a}\pmod{2^{2^{k}}-1} \land m\equiv{b}\pmod{2^{2^{k}}+1}$ perché $ M.C.D.(2^{2^{k}}+1, 2^{2^{k}}-1)=M.C.D.(2^{2^{k}}+1,2)=1$ $ $
Ho dato una risistemata alla seconda parte, ora dovremmo esserci :D
Ultima modifica di Maionsss il 15 apr 2020, 16:42, modificato 1 volta in totale.

Luca Milanese
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Re: n tale che esista m

Messaggio da Luca Milanese » 15 apr 2020, 14:48

Maionsss ha scritto:
15 apr 2020, 14:26
mi basta prendere $b=3 \times (2^{2^{k}} +1)$ per avere $2^{2^{k}} +1| b^{2}+9$.
Questo passaggio non mi torna, puoi spiegare meglio?

Maionsss
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Re: n tale che esista m

Messaggio da Maionsss » 15 apr 2020, 16:42

Ah sisi ho sbagliato a scrivere... Provvedo subito :roll:

Luca Milanese
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Re: n tale che esista m

Messaggio da Luca Milanese » 15 apr 2020, 20:58

Direi che ora va bene.

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