Scuola Superiore Sant'Anna 1

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Roberto_Cella
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Iscritto il: 23 ago 2019, 12:56

Scuola Superiore Sant'Anna 1

Messaggio da Roberto_Cella » 23 ago 2019, 14:02

Tra qualche giorno parteciperò alla prova scritta per l'ammissione alla Scuola Superiore Sant'Anna. Ho avuto problemi nella formalizzazione e nello svolgimento dei tre problemi sottostanti. Qualcuno potrebbe aiutarmi?
ESERCIZIO 1)
Sia x(t) il valore in euro di un investimento al periodo t. In ogni periodo il valore
diminuito di 50 euro è pari alla metà del valore del periodo precedente.
a) Scrivere l’equazione che esprime il valore investito in t in funzione del valore
investito in t-1. Ipotizzando che il valore iniziale x(0)sia pari a 20 euro, si trovi il
valore dell’investimento al periodo t=3.
b) Scrivere l’equazione che esprime il valore investito in t in funzione del valore
iniziale x(0).
c) Calcolare il valore dell’investimento per t che tende all’infinito. (può essere utile
sapere che per ∈ (0,1) la somma infinita 1 + x + x^2 + x^3 + … ha valore
1/(1 − x)
d) Quanto si deve investire in t = 0 affinché la somma iniziale rimanga invariata nel
tempo?
ESERCIZIO 2)
Un’impresa produce due tipi di beni A e B i cui prezzi di vendita sono rispettivamente di
150 euro e 180 euro per ogni unità. Per produrre un’unità di bene A sono richiesti 15
minuti di utilizzo della macchina X, 35 minuti di utilizzo della macchina Y e 30 minuti di
lavoro-uomo. Per il bene B sono invece richiesti 55 minuti di utilizzo della macchina X, 45
minuti di utilizzo della macchina Y e 50 minuti di lavoro-uomo. La giornata lavorativa
dell’unico operaio presente in azienda, ed il tempo per cui può rimanere attiva ciascuna delle
2 macchine X e Y è di 8 ore. Dati i vincoli del problema, determinare le quantità dei beni A
e B (non necessariamente intere) che bisogna produrre al giorno per massimizzare il
profitto.
ESERCIZIO 3)
Sia f: R^2 --> R^2 la seguente funzione f(x1;x2)=(x1+x2;x1-3x2),
Verificare che per ogni coppia di punti (x1,x2) e (y1,y2) in R^2; e per ogni k in R si ha che:
a) f(x1+y1;x2+y2)=f(x1,x2)+f(y1,y2)
b) f(kx1,kx2)=kf(x1,x2)

dodo3
Messaggi: 13
Iscritto il: 20 ago 2019, 09:50

Re: Scuola Superiore Sant'Anna 1

Messaggio da dodo3 » 31 ago 2019, 10:50

Questa dovrebbe essere una soluzione alle domande a,b,d del problema 1 (con i limiti non so aiutarti non avendoli ancora studiati). La soluzione (ammesso che sia corretta) è lunga, per quanto non complicata, immagino che, essendoci un limite di tempo in cui svolgere l'esame, esista una soluzione più veloce.
Testo nascosto:
1
a.
Dal testo si ricava che [math], da cui [math].

x(0)=20
x(1)=20/2+50=60
x(2)=60/2+50=80
x(3)=80/2+50=90

b.
Ricaviamoci x(t) in funzione di x(t-k), con [math], per qualche k piccolo:
[math].

In generale, possiamo scrivere x(t) in funzione di x(t-k) nella forma:
[math], dove a(k) è un termine noto.

A questo punto dobbiamo cercare a(k).
Notiamo che in ogni passaggio va portato un 50 dentro la parentesi che moltiplica [math], diventando così 100, e anche a(k-1), che diventa così 2a(k-1).

Per cui a(k)= 2a(k-1)+100.
Poiché abbiamo visto che a(1)=100, poniamo a(0)=0:
a(1)=2a(0)+100=2*0+100=100
a(2)= 2a(1)+100=300
a(3)=700
a(4)=1500

Per semplicità studiamo [math]

La sequenza [math] è:

0, 1, 3, 7, 15,...
La differenza c(k+1)-c(k) è, di volta in volta:
1, 2, 4, 8,..., che è la sequenza delle potenze di 2.
Deduciamo dunque che [math], con k diverso da 0
[math]

[math]
[math]
[math].

d. Se x(t)=x(0) per ogni t, sicuramente x(1)=x(0).
[math], quindi [math], [math], [math]. Ponendo al posto di 1 t e al posto di 0 t-1, si ha un'equazione con le stesse radici e si capisce che x(t)=x(t-1) sse x(t-1)=100. Continuando a catena si ha x(t)=x(t-1)=x(t-2)=...=x(0) sse x(0)=100
Spero che le risposte siano corrette, comunque pregherei chiunque passasse di qui di segnalare eventuali errori e/o di proporre una soluzione più veloce che di certo è più comoda, specie in un compito a tempo.

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