Com'è strana la vita

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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TeoricodeiNumeri
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Com'è strana la vita

Messaggio da TeoricodeiNumeri » 21 ago 2019, 13:30

Dimostrare che $\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\in \mathbb{Q}$. Premetto: ritengo che sia un esercizio piuttosto semplice, ma l'ho voluto condividere con voi perché vi volevo mostrare chi è il numero che si nasconde sotto mentite spoglie. $Enjoy!$

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Leonhard Euler
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Re: Com'è strana la vita

Messaggio da Leonhard Euler » 21 ago 2019, 16:22

Testo nascosto:
$ \displaystyle2+\sqrt5=(\frac{1+\sqrt5}{2})^3 $
« [...] ha cessato di calcolare e di vivere. » (Eulogia di Eulero)

TeoricodeiNumeri
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Re: Com'è strana la vita

Messaggio da TeoricodeiNumeri » 21 ago 2019, 17:31

Good Answer! Io l'avevo risolto in maniera un po' meno elegante.
Testo nascosto:
Poniamo $t=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$. Da \begin{equation}
(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})^3=2+\sqrt{5}+3\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})^2(2-\sqrt{5})}+3\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})^2}+2-\sqrt{5}=\end{equation}\begin{equation}
=4+3\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})=4-3(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})
\end{equation}
si ricava che $t^3=4-3t$ da cui $t^3 +3t-4=0$, ma $t^3 +3t-4=(t-1)(t^2+t+4)=(t-1)[(t+1/2)^2+4-1/4]$ e quindi $t=1$.

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