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Per la prima freccia basta guardare i residui quadratici mod [math]4 ; poiché sono solo [math]0 e [math]1 otteniamo che [math]a^2-b^2\not\equiv\ 2 mod [math]4 per ogni [math]a, b interi.
Per la seconda freccia osserviamo che per il caso dispari abbiamo [math]2k+1=(k+1)^2-k^2 mentre per il caso restante abbiamo[math]4k=(k+1)^2-(k-1)^2 da cui la tesi.