Dimostrazione Cesenatico 2010

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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UW54
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Dimostrazione Cesenatico 2010

Messaggio da UW54 » 04 giu 2019, 21:39

Mi scuso in anticipo nel caso avessi sbagliato sezione, volevo chiedere se potevate controllare la correttezza di questa dimostrazione da Cesenatico 2010, dato che qualcosa non mi torna.

Testo
Testo nascosto:
Ogni numero naturale, zero incluso, è colorato di bianco o di rosso, in modo che:
• vi siano almeno un numero bianco ed almeno un numero rosso;
• la somma tra un numero bianco ed un numero rosso sia bianca;
• il prodotto tra un numero bianco ed un numero rosso sia rosso.
Dimostrare che il prodotto di due numeri rossi è sempre un numero rosso e che la somma di due numeri rossi
è sempre un numero rosso.
Mia dimostrazione
Testo nascosto:
Dato che c'è almeno un numero rosso 0 è rosso poiché r (rosso) + 0 = r (rosso), quindi 0 non può essere bianco, altrimenti non sarebbe soddisfatta la seconda condizione. 1 è bianco poiché b (bianco) per 1 = b (bianco) e quindi 1 non può essere rosso. Adesso distinguo i casi 2 bianco e 2 rosso.

Se 2 è bianco allora 1 (bianco) + 1 (bianco) = 2 (bianco) quindi bianco + bianco = bianco e dato che 1 e 2 sono bianchi solo 0 sarebbe rosso e dato che 0+0 = 0 per 0 = 0 la tesi è dimostrata.

Se 2 è rosso bianco + bianco = rosso, ma dato che rosso + bianco = bianco e 1 è bianco i numeri bianchi si alternano ai rossi. In particolare i pari sono rossi e i dispari bianchi. Quindi, dato che la somma o il prodotto tra numeri pari dà numeri pari, la tesi è dimostrata.
Soluzione "ufficiale"
Testo nascosto:
Soluzione: Lo zero `e un numero rosso: infatti, se 0 fosse bianco, dato che esiste un numero rosso x, avremmo
che 0 + x = x `e bianco per la seconda propriet`a, contraddizione.
Uno `e un numero bianco: infatti, se uno fosse rosso, dato che esiste un numero bianco y, avremmo che y · · · 1 = y
`e rosso per la terza propriet`a, contraddizione.
Se non ci sono numeri rossi diversi da zero, la tesi `e banale. Altrimenti, sia k il pi`u piccolo numero rosso
maggiore di zero. Allora ogni numero non multiplo di k `e bianco: infatti, se n non `e multiplo di k, n si pu`o
scrivere nella forma n = qk + r con 0 < r < k. Usiamo l’induzione su q. Se q = 0, n `e bianco per ipotesi.
Supponendo vera l’ipotesi per q − 1, abbiamo n = [(q − 1)k + r] + k, che `e bianco per la seconda propriet`a.
Per la terza propriet`a, ogni multiplo di k della forma j · k, con j non divisibile per k, `e rosso. Supponiamo
ora che n sia un multiplo di k della forma j · k con j = lk divisibile per k, ossia che n sia della forma l · k2.
Dall’uguaglianza k + l · k2 = (1 + lk) · k abbiamo, per la seconda propriet`a, che anche in questo caso n deve
essere rosso. Quindi i numeri rossi sono tutti e soli i multipli di k. In questo caso sia le ipotesi del problema
sia la tesi sono banalmente verificate.

Tief
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Re: Dimostrazione Cesenatico 2010

Messaggio da Tief » 04 giu 2019, 22:50

Forse ho capito male io, ma ci sono un po' di passaggi poco chiari
UW54 ha scritto:
04 giu 2019, 21:39

Se 2 è bianco allora 1 (bianco) + 1 (bianco) = 2 (bianco) quindi bianco + bianco = bianco e dato che 1 e 2 sono bianchi solo 0 sarebbe rosso e dato che 0+0 = 0 per 0 = 0 la tesi è dimostrata.

Se 2 è rosso bianco + bianco = rosso, ma dato che rosso + bianco = bianco e 1 è bianco i numeri bianchi si alternano ai rossi. In particolare i pari sono rossi e i dispari bianchi. Quindi, dato che la somma o il prodotto tra numeri pari dà numeri pari, la tesi è dimostrata.
Il fatto che un numero bianco (in questo caso 1) più un numero bianco (sempre 1) faccia un numero bianco (nel tuo caso 2) non implica che, comunque presi due numeri bianchi, la loro somma sia bianca solo perchè funziona in un caso. Potrebbero benissimo esserci dei numeri bianchi che hanno somma rossa perchè questo non va contro le condizioni poste dal problema. Stessa cosa accade se il 2 è rosso, non puoi dire che comunque scelti due bianchi la loro somma sia rossa solo perchè funziona nel caso 1+1=2

UW54
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Re: Dimostrazione Cesenatico 2010

Messaggio da UW54 » 04 giu 2019, 23:14

Sì, mi rendo conto che non ho scritto benissimo.

Comunque grazie mille, ho capito l'errore, infatti mi sembrava non andasse bene.

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