USAMO REINTERPRETATO (OWN)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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RpK
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USAMO REINTERPRETATO (OWN)

Messaggio da RpK » 23 apr 2019, 13:54

Sia $ f:Z^+\rightarrow Z^+ $ una funzione tale che
$ f^{(n)}(n)f(f(n)) = n^2 \forall n\in Z^+ $ dove $ f^{(k)}(n) $ è $ f $ iterata $ k $ volte.
Determinare tutti i possibili valori di $ f(2018) $.

PIELEO13
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Re: USAMO REINTERPRETATO (OWN)

Messaggio da PIELEO13 » 25 apr 2019, 11:12

Si può dimostrare anche che vale [math] [math] da cui segue che
Testo nascosto:
i valori che può assumere [math] sono tutti e soli i pari

RpK
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Re: USAMO REINTERPRETATO (OWN)

Messaggio da RpK » 25 apr 2019, 14:52

Vuoi proporre la tua dimostrazione

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Doxeno
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Re: USAMO REINTERPRETATO (OWN)

Messaggio da Doxeno » 27 apr 2019, 15:22

Dimostriamo per induzione che se $x$ è dispari allora $f(x)=x$. Si verifica molto facilmente che $f(1)=1$. Ora, supponiamo che per ogni dispari $a<d$, $f(a)=a$.
Sappiamo che $f(f(d))*f(d) ^{(d)} =d^2$. Dunque, o $f(f(d)) =d$, o $f(f(d))<d$ o $f(f(d)) >d$.
Nel primo caso, si ottiene che $f(d) =d$, poiché la funzione viene iterata un numero dispari di volte nel primo membro del prodotto e si avrebbe dunque $f(d) *d=d^2$.
Nel secondo caso $f(f(d)) $ deve essere dispari, altrimenti si avrebbe prodotto pari e quindi un assurdo. Di conseguenza, per ipotesi induttiva, $f(d) ^{(d)} =f(f(d)) $, ma quindi il prodotto sarebbe $<d^2$, dunque il secondo caso non si può verificare.
Nel terzo caso, poiché $f(d) ^{(d)}$ deve essere un dispari $k<d$, ci sarà un numero $m>d$ t. c. $f(m)=k$, oppure un intero $m$ pari t.c. $f(m) =k$.
Ma, per ipotesi induttiva, $f(m)^{(m)}*f(f(m))=k^2$, però $k^2$ è dispari e $<d^2$, quindi anche il terzo caso è impossibile.
Dunque $f(d)=d$ per ogni $d$ dispari.
Supponiamo per che $f(2018)$ sia dispari, allora anche $
f(2018)^{(2018)}*f(f(2018))$ sarà dispari, assurdo.
Dunque $f(2018)$ può assumere solo valori pari.
Inoltre, li può assumere tutti poiché si possono considerare le funzioni del tipo $f(x) =x$, tranne per $2018$ e un pari arbitrario $q$, per cui si ha $f(2018)=q$ e $f(q) =2018$. Poiché così $f(f(2018))=2018$ e f(f(q)) =q, le funzioni di questo tipo soddisfano le ipotesi.

RpK
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Re: USAMO REINTERPRETATO (OWN)

Messaggio da RpK » 27 apr 2019, 20:21

Giusta

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