Urbi et Orbi 2019 | 19

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Phi261
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Urbi et Orbi 2019 | 19

Messaggio da Phi261 » 09 apr 2019, 15:26

Buon pomeriggio, volevo delle delucidazioni su questo problema della gara disfida Urbi et Orbi di ieri:
esiste un metodo veloce per farlo?

Marco scrive su un foglio tutti i divisori di 720^2
(inclusi 1 e 720^2) e scrive a fianco ad ognuno di essi il cubo del numero dei suoi divisori. Alla fine qual è la somma di tutti i numeri scritti sul foglio?
Grazie per l'attenzione!

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Doxeno
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Re: Urbi et Orbi 2019 | 19

Messaggio da Doxeno » 09 apr 2019, 19:42

Allora, prima di tutto devi fattorizzare $720^2$, che è $2^8*3^4*5^2$.
Poi possiamo dividere il problema in due parti: trovare la somma dei divisori di 720^2 e il cubo del numero dei divisori di ciascuno di essi.
Per la prima, consideriamo come è fatto un divisore di $720^2$: esso è della forma 2^a*3^b*5^c, con a<=8, b<=4 e c<=2. Dobbiamo calcolare la somma di questi numeri per ogni scelta di $a,b,c$.
Notiamo che considerando (1+2+4+..+256+512)(1+3+..+81)(1+5+25) svolgendo il prodotto si nota che ogni addendo è esattamente della forma che cercavamo, e ci sono tutte e sole le possibili scelte di a,b,c.
Per il secondo punto, per un numero della forma 2^a*3^b*5^c, il suo numero di divisori è (a+1)(b+1)(c+1) (perchè?), come prima, il prodotto delle somme di tutte le possibilità per ogni fattore ci dà la somma di tutti i possibili prodotti. Dunque, la somma dei numeri di divisori dei divisori è (1+2+3+..+9)(1+2+..+5)(1+2+3). Adesso, come puoi trovarti la somma dei cubi di quelle cose?

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Fenu
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Re: Urbi et Orbi 2019 | 19

Messaggio da Fenu » 09 apr 2019, 19:44

Molto fast, se necessarie spiegazioni chiedile pure. $720^2=2^8*3^4*5^2$. La somma dei suoi divisori vale dunque $\frac{2^9-1}{1}\frac{3^5-1}{2}\frac{5^3-1}{4}=1916761$.
Ogni suo divisore è della forma $2^{\alpha}*3^{\beta}*5^{\gamma}$ e dunque avrà $(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)$ divisori, dove $\alpha, \beta, \gamma$ variano rispettivamente tra $\{0, 8\}, \{0, 4\}, \{0, 2\}$. Cerchiamo dunque $\sum (x*y*z)^3$ per $x$ da $1$ a $9$, $y$ da $1$ a $5$, $z$ da $1$ a $3$. Separando (è facile convincersi che puoi), ottieni che questa vale $\sum x^3* \sum y^3 * \sum z^3$, e usando le note formule viene $(\frac{8*9}{2})^2(\frac{4*5}{2})^2(\frac{2*3}{2})^2=16402500$. Sommandole entrambe esce $...9261$

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Fenu
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Re: Urbi et Orbi 2019 | 19

Messaggio da Fenu » 09 apr 2019, 19:44

Non ci credo, 1 minuto di ritardo.. ti amo lo stesso tom

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Doxeno
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Re: Urbi et Orbi 2019 | 19

Messaggio da Doxeno » 09 apr 2019, 20:21

Fenu ha scritto:
09 apr 2019, 19:44
Non ci credo, 1 minuto di ritardo.. ti amo lo stesso tom
Anche io :wink:

Tief
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Re: Urbi et Orbi 2019 | 19

Messaggio da Tief » 09 apr 2019, 20:39

2 errori beoti consegnando prima 2500 e poi sbagliando i calcoli. Comunque alla fine i punti li ho presi :roll:

Phi261
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Re: Urbi et Orbi 2019 | 19

Messaggio da Phi261 » 09 apr 2019, 20:54

Fenu ha scritto:
09 apr 2019, 19:44
Molto fast, se necessarie spiegazioni chiedile pure. $720^2=2^8*3^4*5^2$. La somma dei suoi divisori vale dunque $\frac{2^9-1}{1}\frac{3^5-1}{2}\frac{5^3-1}{4}=1916761$.
Ogni suo divisore è della forma $2^{\alpha}*3^{\beta}*5^{\gamma}$ e dunque avrà $(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)$ divisori, dove $\alpha, \beta, \gamma$ variano rispettivamente tra $\{0, 8\}, \{0, 4\}, \{0, 2\}$. Cerchiamo dunque $\sum (x*y*z)^3$ per $x$ da $1$ a $9$, $y$ da $1$ a $5$, $z$ da $1$ a $3$. Separando (è facile convincersi che puoi), ottieni che questa vale $\sum x^3* \sum y^3 * \sum z^3$, e usando le note formule viene $(\frac{8*9}{2})^2(\frac{4*5}{2})^2(\frac{2*3}{2})^2=16402500$. Sommandole entrambe esce $...9261$
Chiarissimo, grazie mille 😉

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Doxeno
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Re: Urbi et Orbi 2019 | 19

Messaggio da Doxeno » 09 apr 2019, 20:56

Tief ha scritto:
09 apr 2019, 20:39
2 errori beoti consegnando prima 2500 e poi sbagliando i calcoli. Comunque alla fine i punti li ho presi :roll:
Io non riuscivo a capire perchè 2500 fosse sbagliato.... testo infame

Phi261
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Re: Urbi et Orbi 2019 | 19

Messaggio da Phi261 » 09 apr 2019, 21:30

Phi261 ha scritto:
09 apr 2019, 20:54
Fenu ha scritto:
09 apr 2019, 19:44
e usando le note formule viene $(\frac{8*9}{2})^2(\frac{4*5}{2})^2(\frac{2*3}{2})^2=16402500$.
Giusto una cosa, quando usi la formula dei cubi, non dovrebbe venir fuori 9*10/2 dato che hai sostituito a+1 con x spostando di 1 l'indice della sommatoria?
(Alla fine poi le ultime 2 cifre rimangono 2500 e il risultato da GAS non cambia)

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