Sommando all'infinito

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Saro00
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Sommando all'infinito

Messaggio da Saro00 » 14 feb 2019, 20:58

Calcolare:
[math]
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi. 8)

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Leonhard Euler
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Re: Sommando all'infinito

Messaggio da Leonhard Euler » 15 feb 2019, 17:52

Premetto che nel corso della dimostrazione userò fatti che sono decisamente poco olimpici, quali le funzioni generatrici.
In primo luogo scrivo la funzione generatrice di Lambert della successione avente come termini [math]:
[math]
Dove [math] è solo un valore formale che per far convergere la serie ne poniamo il valore assoluto minore di [math].
Sono adesso sufficienti solo alcune manipolazioni algebriche:
[math]
Considero [math]
A questo punto si nota come nel membro di destra ci sia qualcosa che assomiglia notevolemte a quello che si vuole calcolare:
[math]
Ricordando la formula chiusa a cui convergono le due serie di Lambert per la funzione toziente, si ottiene:
[math]
Per arrivare al risultato numerico è sufficiente sostituire nell'ultima identità [math], il che rimane coerente con il fatto che le serie di Lambert definite in precedenza effettivamente convergano. La somma coverge pertanto a [math].
« [...] ha cessato di calcolare e di vivere. » (Eulogia di Eulero)

Saro00
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Re: Sommando all'infinito

Messaggio da Saro00 » 16 feb 2019, 11:52

:)
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi. 8)

Saro00
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Re: Sommando all'infinito

Messaggio da Saro00 » 16 feb 2019, 11:57

Metto l'idea di fondo in spoiler
Testo nascosto:
Comunque l'idea di fondo era espandere il denominatore come somma di potenze di $ 1/2 $ a segni alterni.
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi. 8)

nicarepo
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Re: Sommando all'infinito

Messaggio da nicarepo » 16 feb 2019, 14:26

Giusto per curiosità, dove avete studiato queste cose; come fate a conoscere questi argomenti?

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Leonhard Euler
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Re: Sommando all'infinito

Messaggio da Leonhard Euler » 16 feb 2019, 22:17

nicarepo ha scritto:
16 feb 2019, 14:26
Giusto per curiosità, dove avete studiato queste cose; come fate a conoscere questi argomenti?
Le funzioni generatrici sono qualcosa di molto utile per valutare somme, determinare il termine [math] in una ricorsione, capire l’andamento e scoprire proprietà “insolite” di una certa funzione. A tal proposito ti consiglio indubbiamente https://www.math.upenn.edu/~wilf/gfologyLinked2.pdf, che ritengo il testo più completo disponibile per un primo approccio alle funzioni generatrici.
« [...] ha cessato di calcolare e di vivere. » (Eulogia di Eulero)

nicarepo
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Re: Sommando all'infinito

Messaggio da nicarepo » 17 feb 2019, 09:30

Grazie mille! :D

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