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1. Determinare tutte le p per cui 11p+1 è un quadrato perfetto.

2. Determinare tutte le p per cui 11p+5 è un quadrato perfetto.

3. Determinare tutte le p per cui 11p-1 è un quadrato perfetto.

Intendi p primo?

No, qualsiasi p, in realtà il problema “originale” era il primo, che avevo anche risolto, ma pensando ad un controesempio come il 3 mi è venuto più di qualche dubbio.

Almeno p dev'essere intero?

Si, p deve essere intero

Allora:
1. Devo avere [math]11p+1=x^2 per un qualche [math]x intero. Considero i residui quadratici modulo 11 e osservo che dev'essere [math]x=11h\pm1, h\in \mathbb{Z}. Pertanto ottengo[math]11p+1=(11h\pm1)^2 \Rightarrow p=11h^2\pm2h
2. Analogamente osservo che dev'essere[math]x=11h\pm4, h\in \mathbb{Z}. Pertanto ottengo[math]11p+5=(11h\pm4)^2 \Rightarrow p=11h^2\pm8h+1
3. Osservo i residui quadratici modulo 11 e noto che non esiste alcun intero che elevato al quadrato dà resto -1 nella divisione per 11.

Volendo risolvere anche il quesito originario, che se ho capito bene è "trovare tutti i primi [math]p tali che [math]11p+1 è un quadrato perfetto", si ha che:
[math]11p+1=x^2, x\in \mathbb{Z}\Rightarrow 11p=(x-1)(x+1) . Allora, siccome, il LHS ha 4 divisori interi positivi, devo considerare gli 8 sistemi:
[math]x-1=1 \wedge x+1=11p;x-1=11 \wedge x+1=p;x-1=p \wedge x+1=11;x-1=11p \wedge x+1=1;x-1=-1 \wedge x+1=-11p;x-1=-11 \wedge x+1=-p;x-1=-p \wedge x+1=-11;x-1=-11p \wedge x+1=-1 . E si ottiene che l'unica soluzione accettabile è [math]p=13.

Grazie mille, effettivamente la soluzione che avevo trovato era quella, ma non ero sicuro che non ci fossero altri p. Con questo metodo invece è inequivocabile.

Scusate se riporto su ma mi sono tornati dei dubbi.
In quei sistemi le soluzioni sono p= -1/11, p=9, p=3/11 e p=13 (ognuna due volte, dato che i sistemi erano .
Ma a questo punto anche 35/11, 48/11, 63/11 sono p valide per il quesito "Determinare tutte le p t.c. 11p+1 sia un quadrato perfetto", che però non sono venute come soluzioni nel sistema di sopra. Chiaramente queste soluzioni sono infinite (basta sottrarre 1 ad un qualsiasi quadrato e poi dividere per 11), ma le mie turbe vengono dal fatto che escano come soluzioni -1/11 e 3/11 e non ad esempio 35/11, 48/11 ecc. Cosa hanno di speciale le prime sue soluzioni?