Quadrati perfetti

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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UW54
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Quadrati perfetti

Messaggio da UW54 » 12 nov 2018, 10:14

1. Determinare tutte le p per cui 11p+1 è un quadrato perfetto.

2. Determinare tutte le p per cui 11p+5 è un quadrato perfetto.

3. Determinare tutte le p per cui 11p-1 è un quadrato perfetto.

pipotoninoster
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Re: Quadrati perfetti

Messaggio da pipotoninoster » 17 nov 2018, 16:39

Intendi p primo?

UW54
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Re: Quadrati perfetti

Messaggio da UW54 » 19 nov 2018, 07:27

No, qualsiasi p, in realtà il problema “originale” era il primo, che avevo anche risolto, ma pensando ad un controesempio come il 3 mi è venuto più di qualche dubbio.

pipotoninoster
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Re: Quadrati perfetti

Messaggio da pipotoninoster » 20 nov 2018, 19:41

Almeno p dev'essere intero?

UW54
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Re: Quadrati perfetti

Messaggio da UW54 » 21 nov 2018, 07:52

Si, p deve essere intero

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Re: Quadrati perfetti

Messaggio da pipotoninoster » 21 nov 2018, 17:23

Allora:
1. Devo avere [math] per un qualche [math] intero. Considero i residui quadratici modulo 11 e osservo che dev'essere [math]Pertanto ottengo[math]
2. Analogamente osservo che dev'essere[math]Pertanto ottengo[math]
3. Osservo i residui quadratici modulo 11 e noto che non esiste alcun intero che elevato al quadrato dà resto -1 nella divisione per 11.

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Re: Quadrati perfetti

Messaggio da pipotoninoster » 21 nov 2018, 17:35

Volendo risolvere anche il quesito originario, che se ho capito bene è "trovare tutti i primi [math] tali che [math] è un quadrato perfetto", si ha che:
[math]. Allora, siccome, il LHS ha 4 divisori interi positivi, devo considerare gli 8 sistemi:
[math]. E si ottiene che l'unica soluzione accettabile è [math].

UW54
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Re: Quadrati perfetti

Messaggio da UW54 » 21 nov 2018, 20:43

Grazie mille, effettivamente la soluzione che avevo trovato era quella, ma non ero sicuro che non ci fossero altri p. Con questo metodo invece è inequivocabile.

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Re: Quadrati perfetti

Messaggio da UW54 » 18 dic 2018, 17:43

Scusate se riporto su ma mi sono tornati dei dubbi.
In quei sistemi le soluzioni sono p= -1/11, p=9, p=3/11 e p=13 (ognuna due volte, dato che i sistemi erano 8).
Ma a questo punto anche 35/11, 48/11, 63/11 sono p valide per il quesito "Determinare tutte le p t.c. 11p+1 sia un quadrato perfetto", che però non sono venute come soluzioni nel sistema di sopra. Chiaramente queste soluzioni sono infinite (basta sottrarre 1 ad un qualsiasi quadrato e poi dividere per 11), ma le mie turbe vengono dal fatto che escano come soluzioni -1/11 e 3/11 e non ad esempio 35/11, 48/11 ecc. Cosa hanno di speciale le prime sue soluzioni?

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