Quadrati perfetti

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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UW54
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Quadrati perfetti

Messaggio da UW54 » 12 nov 2018, 10:14

1. Determinare tutte le p per cui 11p+1 è un quadrato perfetto.

2. Determinare tutte le p per cui 11p+5 è un quadrato perfetto.

3. Determinare tutte le p per cui 11p-1 è un quadrato perfetto.

pipotoninoster
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Re: Quadrati perfetti

Messaggio da pipotoninoster » 17 nov 2018, 16:39

Intendi p primo?

UW54
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Re: Quadrati perfetti

Messaggio da UW54 » 19 nov 2018, 07:27

No, qualsiasi p, in realtà il problema “originale” era il primo, che avevo anche risolto, ma pensando ad un controesempio come il 3 mi è venuto più di qualche dubbio.

pipotoninoster
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Re: Quadrati perfetti

Messaggio da pipotoninoster » 20 nov 2018, 19:41

Almeno p dev'essere intero?

UW54
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Re: Quadrati perfetti

Messaggio da UW54 » 21 nov 2018, 07:52

Si, p deve essere intero

pipotoninoster
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Re: Quadrati perfetti

Messaggio da pipotoninoster » 21 nov 2018, 17:23

Allora:
1. Devo avere [math] per un qualche [math] intero. Considero i residui quadratici modulo 11 e osservo che dev'essere [math]Pertanto ottengo[math]
2. Analogamente osservo che dev'essere[math]Pertanto ottengo[math]
3. Osservo i residui quadratici modulo 11 e noto che non esiste alcun intero che elevato al quadrato dà resto -1 nella divisione per 11.

pipotoninoster
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Re: Quadrati perfetti

Messaggio da pipotoninoster » 21 nov 2018, 17:35

Volendo risolvere anche il quesito originario, che se ho capito bene è "trovare tutti i primi [math] tali che [math] è un quadrato perfetto", si ha che:
[math]. Allora, siccome, il LHS ha 4 divisori interi positivi, devo considerare gli 8 sistemi:
[math]. E si ottiene che l'unica soluzione accettabile è [math].

UW54
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Re: Quadrati perfetti

Messaggio da UW54 » 21 nov 2018, 20:43

Grazie mille, effettivamente la soluzione che avevo trovato era quella, ma non ero sicuro che non ci fossero altri p. Con questo metodo invece è inequivocabile.

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