OliForum Matematico

Come si può stimare la parte periodica di 100/97?
Io ho pensato questo, ma rimango bloccato e wikipedia non riesce a salvarmi...

Allora: La frazione è già ridotta ai minimi termini. 97 non è né multiplo di 2 né di 5, perciò darà luogo a un numero periodico semplice.
Perché una frazione dia luogo a un numero periodico semplice deve essere scritta nella forma K/9999...999 p volte, dove p è il numero di cifre al denominatore è il numero di cifre periodiche. 999...99=$ 10^p-1 $. perciò 97 divide $ 10^p-1 $. Ossia, $ 10^p \equiv 1 (mod 97) $. Per il piccolo teorema di fermat, giacché 97 è primo, si ha $ 10^{96} \equiv 1 (mod 97) $. Quindi il numero di cifre periodiche potrebbe essere 96.
Il numero delle cifre periodiche, inoltre, sarà al massimo 96, pari al numero di classi di resto non nulle in modulo 97 (dopo, almeno un resto della divisione 100/97 si ripete).
Ora, come la chiudo? cioè, si riesce a dire che non ci sono altri esponenti minori di 96 per cui vale $ 10^p \equiv 1 (mod 97) $? e poi, davvero non ce ne sono altri?

Fonte: domande orali della normale, 2015

Boh vorrà vederti scrivere $100/97=100/(100-3)=\frac{1}{1-\frac{3}{100}}$ e questa la sviluppi come progressione geometrica. Non mi sembra essere una domanda più profonda di così sinceramente.

In che senso la sviluppi? Cioè, capisco che ti viene $ \frac{100}{97}=\sum_{n=0}^{\infty} {(\frac{3}{100})}^n $, ma da qui in avanti come faccio a dire quante cifre periodiche abbia? Perché le somme parziali della serie sono tutte razionali

Ah ma vuoi sapere quanto è lungo il periodo? Basta che provi a vedere a mano quanto fanno $10^{48} \mod 97$ e $10^{32}\mod 97$ e se nessuno dei due è $1$ vuol dire che il periodo è lungo $96$. Dal testo mi sembrava volessi sapere una stima numerica del periodo

Ok, ma perché solo 48 e 32?

Quali sono i fattori primi di 96?

$ 2^5*3 $, perché? cioè, non è che all'orale posso mettermi a provare tutte le combinazioni

Sia $ 0<a<96 $ naturale tale che $ (a,96)=1 $, allora esistono naturali $ k_1,k_2 $ tali che $ |96k_1-ak_2|=1 $, e quindi se $ 10^a \equiv_{97} 1 $ si avrebbe anche $ (10^{96})^{k_1}-(10^a)^{k_2} \equiv_{97} 0 \rightarrow (10^{ak_2})(10^{96k_1-ak_2}-1) \equiv_{97} 0 $, ma $ 97 \not \mid 10^{ak_2} $, dunque dovrebbe essere $ 10^{96k_1-ak_2}-1 = 9 \equiv_{97} 0 $, assurdo. (1)

[Al più potrebbe essere $ ak_2-96k_1=1 $ e conseguentemente sarebbe necessario modificare leggermente il ragionamento]

Del resto $ 96=2^5 \cdot 3 $, quindi se $ 10^{\frac{96}{2}} = 10^{48}\not \equiv_{97} 1 $ e $ 10^{\frac{96}{3}}= 10^{32} \not \equiv_{97} 1 $ si avrebbe che nessun numero della forma $ \displaystyle 10^{\frac{96}{2^{\alpha}3^{\beta}}} $ ($ 0 \le \alpha\le 5 $, $ 0 \le \beta \le 1 $) potrebbe essere congruo a $ 1 $ modulo $ 97 $, in caso contrario infatti lo sarebbero anche
$ 10^{32}=\left(10^{\frac{96}{2^{\alpha}3^{\beta}}}\right)^{2^{\alpha}3^{\beta-1}} $ e $ 10^{48}=\left(10^{\frac{96}{2^{\alpha}3^{\beta}}} \right)^{2^{\alpha-1}3^{\beta}} $ (2)


Infine, se $ 0<a<96 $ è un naturale tale che $ (a, 96)=d \not = 1 $ allora ragionando come in (1) possiamo concludere che dev'essere anche $ 10^d \equiv_{97} 1 $, ma $ d $ è un divisore di $ 96 $ e quindi come in (2) otteniamo che se $ 10^{48} \not \equiv_{97} 1 $ o $ 10^{32} \not \equiv_{97} 1 $ non è neppure $ 10^d \equiv_{97} 1 $

Ok perfetto grazie!

Volendo è possibile snellire il discorso ricorrendo al concetto di ordine moltiplicativo e sfruttando il teorema di Lagrange: ci interessa l'ordine moltiplicativo di $ 10 $ modulo $ 97 $, quindi per Lagrange deve essere $ ord_{97}(10) \mid \phi(97)=96 $, e con argomenti comuni a quelli presenti nel post precedente notiamo che è sufficiente verificare la congruenza di $ 10^{48} $ e $ 10^{32} $ per concludere che $ ord_{97}(10)=\phi(97)=96 $

Nota: Siano $ a $ un intero e $ n $ un naturale positivo con $ (a,n)=1 $; sia $ b=ord_n(a) $ e $ (b, \phi(n))=d $, allora argomentando come nel post precedente (e notando con cura dove sfruttiamo l'ipotesi $ (a, n)=1 $) concludiamo che deve essere anche $ a^d \equiv_{n} 1 $ e quindi per definizione di ordine $ ord_n(a) \le d $, ma $ d \mid ord_n(a) \Rightarrow d \le ord_n(a) $ e conseguentemente $ d=ord_n(a) $, da cui $ d=ord_n(a) \mid \phi(n) $