Problema 9*

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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PG93
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Problema 9*

Messaggio da PG93 » 19 ago 2018, 14:19

Visto il messaggio di Fenu, propongo un nuovo problema :D
Si consideri l'equazione diofantea:
$$(a^a)^n=b^b\quad (1)$$
(a) Per quali valori di n intero positivo, (1) ammette almeno una soluzione con $a,b>1$.
(b) Risolvere (1) per n=5

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Fenu
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Re: Problema 9*

Messaggio da Fenu » 19 ago 2018, 22:35

Problema simpatico, spero di non aver commesso errori avendolo risolto di fretta.
$a)$ $\fbox{Tutti gli n diversi da 2}$. Posto $a=(n-1)^{n-1}$ e $b=(n-1)^{n}$ (che, per $n>2$ sono entrambi $>1$), si ha banalmente
$$((n-1)^{n-1})^{(n-1)^{n-1}\cdot n}=((n-1)^{n})^{(n-1)^{n}}$$
che dimostra che $a, b$ rispettano la diofantea da te proposta.
Si ha inoltre che $a=b$ risulta soluzione per qualsiasi $a \in \mathbb{Z^{+}}$ nel caso in cui $n=1$.
Resta da dimostrare che per $n=2$ non abbiamo soluzione.
Sia $d=(a, b)$, detti $a_1=\frac{a}{d}, b_1=\frac{b}{d}$ allora eseguendo sostituzioni nell'equazione di partenza arriviamo a
$$(d*a_1)^{d*a_1*n} = (d*b_1)^{d*b_1}.$$
Tenendo conto del fatto che $a_1<b_1, a_1*n>b_1$ (non dimostrerò questi due fatti, sono ovvi) si arriva a
$$d^{a_1*n-b_1} * (a_1)^{a_1*n}=(b_1)^{b_1}$$
da cui segue $a_1=1$ dato che $(a_1, b_1)=1$.
Vale quindi ora
$$d^{n-b_1}=(b_1)^{b_1}$$
da cui, prendendo il logaritmo in base $b_1$
$$\log_{b_1}(d)=\frac{n}{n-b_1} - 1.$$
Dato che, chiaramente, $\log_{b_1}(d)>0$ (altrimenti $d$ non sarebbe intero) ricaviamo $\frac{n}{n-b_1}-1>0$. Chiamiamo questo fatto $lemma$ $di$ $Fenu$ (solo se è giusto però, se è sbagliato non voglio il mio nome sopra 8) ).
Utilizzando il $lemma$ $di$ $Fenu$ per $n=2$ otteniamo
$$\frac{2}{2-b_1}>1 \Rightarrow b_1=1, d=1, b=1, a=1$$
che non rispetta l'ipotesi $a, b> 1$.
Non esistono dunque soluzioni per $n=2$.

b) Utilizzando il lemma dimostrato precedentemente, otteniamo
$$\frac{5}{5-b_1}>1$$
ossia $b_1=1, 2, 3, 4$, da cui si ottengono rispettivamente $d=a=1, 2^{(\frac{2}{3})}, 3^{(\frac{3}{2})}, 4^{(4)}$. Seguono le soluzioni $(a, b) = (1, 1), (4^4, 4^5)$.

PG93
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Re: Problema 9*

Messaggio da PG93 » 20 ago 2018, 21:44

Si è corretto! La staffetta passa a te

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