Massimo comun divisore

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Sypo12
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Massimo comun divisore

Messaggio da Sypo12 » 25 lug 2018, 18:56

Devo trovare il massimo comun divisore di tutti i numeri nella forma [math] con [math] primo, [math]

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Fenu
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Re: Massimo comun divisore

Messaggio da Fenu » 25 lug 2018, 20:01

Sia $d$ il massimo comun divisore dei numeri della forma $p^8-1$ con $p$ primo $>5$. Sia ora $q$ un primo che divide $d$. Notiamo che, se $q>5$ allora $q|q^8-1$, che è ovviamente falso dato che altrimenti $q|1$. Segue che $q\leq5$: $d$ avrà quindi solo fattori primi minori di $7$. Controlliamo ora per quali dei primi $2, 3, 5$ riusciamo a trovare delle belle cose su $p^8-1$.
$\fbox{Caso 2}$
Qual è la massima potenza di $2$ che divide $p^8-1$ per ogni $p$ primo? E' facile notare che $32|p^8-1$ dato che $p\ne2$. Un modo immediato per verificare ciò è che $p^8-1=(p^4+1)(p^2+1)(p+1)(p-1)$, dove si verifica che $p^4+1, p^2+1$ non sono sempre divisibili per $4$, ma per $2$ si; i fattori $(p+1), (p-1)$ sono invece sempre divisibili per $4$ e $2$ in quanto pari consecutivi. Per convincerci di più, per quanto contoso, basta osservare che $64$ non divide $11^8-1$. Dunque di sicuro $5$ fattori $2$, e non di più, presenti in $d$.
$\fbox{Caso 3}$
Banale notare che $3|p^8-1$ per ogni $p>5$. Inoltre $9$ non divide $7^8-1$ e dunque $\upsilon_3(d)=1$.
$\fbox{Caso 5}$
I residui quadratici modulo $5$ sono $0, 1, -1$, ma possiamo escludere lo $0$ per ovvi motivi $\Rightarrow$ $1$ è l'unico residuo quartico modulo $5$ $\Rightarrow$ l'unico residuo ottavo è $1$ $\Rightarrow$ $5|p^8-1$, inoltre $25$ non divide $11^8-1$. Segue che $5|d$ ma $25\nmid d$

In conclusione, $\fbox{d=480}$

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