Parti$\mathbb{Z^+}$ioni 2

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Gerald Lambeau
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Parti$\mathbb{Z^+}$ioni 2

Messaggio da Gerald Lambeau » 20 lug 2018, 14:42

Direi assai facile, ma buffo. Siano $p_n$ l'$n$-esimo numero primo e $\pi(n)$ il numero di primi minori o uguali di $n$ con $n \ge 1$. Mostrare che le due sequenze $\{n+\pi(n-1)\}_{n \ge 1}$ e $\{n+p_n\}_{n \ge 1}$ partizionano $\mathbb{Z^+}$.

EDIT: $\pi(0)=0$.
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1729
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Re: Parti$\mathbb{Z^+}$ioni 2

Messaggio da 1729 » 20 lug 2018, 15:48

Chiamo le due sequenze $ a_n $ e $ b_n $
$ \pi(n) $ può rimanere costante o aumentare di uno. Quindi $ a_{n+1}-a_n $ può essere uno o due.
In particolare é due solo se $ n $é primo.
Dunque gli unici interi positivi che nn appartengono alla prima sequenza sono del tipo $ p+\pi(p-1) +1=p + \pi(p) $
Ma chiaramente se $ p_j $ é il j-esimo primo
$ \pi(p_j) =j $ e questo conclude la dimostrazione

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Gerald Lambeau
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Re: Parti$\mathbb{Z^+}$ioni 2

Messaggio da Gerald Lambeau » 20 lug 2018, 15:53

Alla faccia della formalità...
Tralasciando questo, è giusta.
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