Problema 6
Problema 6
Un problema più difficile, ma carino:
Siano $a,b,c>0$ tre interi tali che $MCD(a,b,c)=1$ e $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$. Dimostrare che $a+b$ è un quadrato perfetto.
Siano $a,b,c>0$ tre interi tali che $MCD(a,b,c)=1$ e $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$. Dimostrare che $a+b$ è un quadrato perfetto.
Re: Problema 6
Ci provo (ammetto che il problema per me è stato abbastanza impegnativo poiché questo è stato il mio primo anno nelle olimpiadi) però tentare non costa nulla!
Per ipotesi
[math]
Inoltre sappiamo che
[math]
Il che equivale a dire:
[math]
Quindi
[math]
Allora si ha che [math] poiché 0 moltiplicato per abc dà 0. Trasporto ab:
[math]
Raccolgo a fattor comune
[math]
Ora possiamo finalmente dire che;
[math]
Siccome tale espressione è intera, allora [math], ma a questo punto visto che i tre numeri sono coprimi per ipotesi, i casi sono 2:
Primo caso:
c=1
Il che è impossibile perché non esistono coppie di interi (a, b) maggiori di 0 tali che:
[math]
Secondo caso:
c = ab
Il che è possibile, e l’espressione risulterebbe:
[math]
Siccome 1 è un quadrato perfetto, si ha la tesi dimostrata.
Per ipotesi
[math]
Inoltre sappiamo che
[math]
Il che equivale a dire:
[math]
Quindi
[math]
Allora si ha che [math] poiché 0 moltiplicato per abc dà 0. Trasporto ab:
[math]
Raccolgo a fattor comune
[math]
Ora possiamo finalmente dire che;
[math]
Siccome tale espressione è intera, allora [math], ma a questo punto visto che i tre numeri sono coprimi per ipotesi, i casi sono 2:
Primo caso:
c=1
Il che è impossibile perché non esistono coppie di interi (a, b) maggiori di 0 tali che:
[math]
Secondo caso:
c = ab
Il che è possibile, e l’espressione risulterebbe:
[math]
Siccome 1 è un quadrato perfetto, si ha la tesi dimostrata.
Re: Problema 6
Ci sono alcuni errori nella tua soluzione @Mattysal, prova a rivederla e vedi se ci arrivi da solo.
Hint banale
Hint banale
Testo nascosto:
Re: Problema 6
Effettivamente, c'è un problema quando consideri il fatto che i numeri sono coprimi: $MCD(a,b,c)=1$ non implica $MCD(a,b)=1$ o $MCD(a,c)=1$ o $MCD(a,b)=1$.
Per esempio, si ha $MCD(15,9,25)=1$ poiché non esiste un intero maggiore di $1$ che divide simultaneamente $15, 9$ e $25$. Però $MCD(15,25)=5$...
Spero di essere stato chiaro
Per esempio, si ha $MCD(15,9,25)=1$ poiché non esiste un intero maggiore di $1$ che divide simultaneamente $15, 9$ e $25$. Però $MCD(15,25)=5$...
Spero di essere stato chiaro
Re: Problema 6
Sisi chiarissimo, mi sono appena reso conto di essere stato stupido. Comunque detto ciò non so proprio come andare avanti!
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Re: Problema 6
SI hai ragione poi mi sono accorto della stupidagine che ho scritto...
Re: Problema 6
Quella di @TheRoS è buona.
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