Problema 6

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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PG93
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Problema 6

Messaggio da PG93 » 02 lug 2018, 19:57

Un problema più difficile, ma carino:
Siano $a,b,c>0$ tre interi tali che $MCD(a,b,c)=1$ e $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$. Dimostrare che $a+b$ è un quadrato perfetto.

Mattysal
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Re: Problema 6

Messaggio da Mattysal » 02 lug 2018, 21:24

Ci provo (ammetto che il problema per me è stato abbastanza impegnativo poiché questo è stato il mio primo anno nelle olimpiadi) però tentare non costa nulla! :D
Per ipotesi
[math]
Inoltre sappiamo che
[math]
Il che equivale a dire:
[math]
Quindi
[math]
Allora si ha che [math] poiché 0 moltiplicato per abc dà 0. Trasporto ab:
[math]
Raccolgo a fattor comune
[math]
Ora possiamo finalmente dire che;
[math]
Siccome tale espressione è intera, allora [math], ma a questo punto visto che i tre numeri sono coprimi per ipotesi, i casi sono 2:
Primo caso:
c=1
Il che è impossibile perché non esistono coppie di interi (a, b) maggiori di 0 tali che:
[math]
Secondo caso:
c = ab
Il che è possibile, e l’espressione risulterebbe:
[math]
Siccome 1 è un quadrato perfetto, si ha la tesi dimostrata.

Maionsss
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Re: Problema 6

Messaggio da Maionsss » 02 lug 2018, 21:57

Ci sono alcuni errori nella tua soluzione @Mattysal, prova a rivederla e vedi se ci arrivi da solo.
Hint banale
Testo nascosto:
se $ a, b $ sono interi positivi, come fa la loro somma a dare $ 1 $?

PG93
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Re: Problema 6

Messaggio da PG93 » 02 lug 2018, 22:02

Effettivamente, c'è un problema quando consideri il fatto che i numeri sono coprimi: $MCD(a,b,c)=1$ non implica $MCD(a,b)=1$ o $MCD(a,c)=1$ o $MCD(a,b)=1$.
Per esempio, si ha $MCD(15,9,25)=1$ poiché non esiste un intero maggiore di $1$ che divide simultaneamente $15, 9$ e $25$. Però $MCD(15,25)=5$...
Spero di essere stato chiaro :)

Mattysal
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Re: Problema 6

Messaggio da Mattysal » 02 lug 2018, 22:10

Sisi chiarissimo, mi sono appena reso conto di essere stato stupido. Comunque detto ciò non so proprio come andare avanti!😔

TheRoS
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Re: Problema 6

Messaggio da TheRoS » 03 lug 2018, 00:08

Testo nascosto:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$ è equivalente a dire $bc+ac=ab$, in altre parole $(a+b)|ab$. Sia $d=(a,b)$, scriviamoci $a=dk$ e $b=dm$ e quindi $m$ e $k$ sono coprimi tra loro. Quindi dire che $(a+b)|ab$ è equivalente a dire che $m+k|dmk$, ciò significa che $m+k|d$ ma si può dire di meglio: $m+k=d$, se ciò non fosse $\frac{ab}{a+b}=jmk=c$ per qualche $j$ maggiore di 1 tale che $j|d$ ossia si avrebbe $(a,b,c)>1$. Ne consegue che $a+b=d(m+k)=d^2$.



bananamaths
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Re: Problema 6

Messaggio da bananamaths » 03 lug 2018, 10:27

Testo nascosto:
La mia soluzione è che é [math] è equivalente a scrivere [math] quindi
[math] ovvero [math] ovvero [math] ora [math] divide [math] solo se [math] è divisibile per [math] e allo stesso modo [math] è divisibile per c solo se b lo è ma sappiamo che [math] è quindi per forza c=1 otteniama quindi [math] quindi sia [math] e [math] da qui [math] e [math] sostituendo in [math] vediamo che l'ungualioanza è soddisfatta, e abbiamo anche che [math]
ovvero un quadrato perpetto

TheRoS
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Re: Problema 6

Messaggio da TheRoS » 03 lug 2018, 11:57

$a=12$ $b=4$ $c=3$????

bananamaths
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Re: Problema 6

Messaggio da bananamaths » 03 lug 2018, 12:03

SI hai ragione poi mi sono accorto della stupidagine che ho scritto...

PG93
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Re: Problema 6

Messaggio da PG93 » 03 lug 2018, 14:50

Quella di @TheRoS è buona.
Puoi proporre un nuovo problema :)

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