Problema 5: Interi primi
Inviato: 02 lug 2018, 12:55
Determinare tutte le terne $ (m,n,p) $ tali che $ p^n+144=m^2 $, dove $ m $ e $ n $ sono interi positivi e $ p $ è intero primo.
Testo nascosto:
Sia $(m,n,p)$ una terna che funziona. Allora $p^n+144=m^2\Leftrightarrow p^n=(m-12)(m+12)$. Ora, si ha $MCD(m-12, m+12)|24$. Perciò si deve avere $MCD(m-12, m+12)=1\text{ o }2\text{ o }3$.
Se $MCD(m-12,m+12)=1$, necessariamente $m-12=1\Leftrightarrow m=13$ che dà $p=5$ e $n=2$. Dunque otteniamo una prima terna $(13,2,5)$.
Se $MCD(m-12,m+12)=2$, si ha $p=2$. Dunque $m-12$ e $m+12$ sono potenze intere di $2$, e le uniche potenze di $2$ che differiscono di $24$ sono $8$ e $32$, cioè $m=20$. Dunque otteniamo una seconda terna $(20,8,2)$
Se $MCD(m-12,m+12)=3$, si ha $p=3$. Perciò $m-12$ e $m+12$ sono potenze intere di $3$, e le uniche potenze di $3$ che differiscono di $24$ sono $3$ e $27$. Otteniamo così la terza terna $(15,4,3)$.
Finalmente, le soluzioni sono $(15,4,3)$, $(20,8,2)$ e $(13,2,5)$.
Se $MCD(m-12,m+12)=1$, necessariamente $m-12=1\Leftrightarrow m=13$ che dà $p=5$ e $n=2$. Dunque otteniamo una prima terna $(13,2,5)$.
Se $MCD(m-12,m+12)=2$, si ha $p=2$. Dunque $m-12$ e $m+12$ sono potenze intere di $2$, e le uniche potenze di $2$ che differiscono di $24$ sono $8$ e $32$, cioè $m=20$. Dunque otteniamo una seconda terna $(20,8,2)$
Se $MCD(m-12,m+12)=3$, si ha $p=3$. Perciò $m-12$ e $m+12$ sono potenze intere di $3$, e le uniche potenze di $3$ che differiscono di $24$ sono $3$ e $27$. Otteniamo così la terza terna $(15,4,3)$.
Finalmente, le soluzioni sono $(15,4,3)$, $(20,8,2)$ e $(13,2,5)$.
