Problema 5: Interi primi
Problema 5: Interi primi
Determinare tutte le terne $ (m,n,p) $ tali che $ p^n+144=m^2 $, dove $ m $ e $ n $ sono interi positivi e $ p $ è intero primo.
Re: Problema 5: Interi primi
Proviamo
Testo nascosto:
Re: Problema 5: Interi primi
Perché se $MCD(m-12, m+12)=1$ allora $m=13$?
Se provi tipo $m=17$...
Se provi tipo $m=17$...
Re: Problema 5: Interi primi
Bè, se $m-12\neq1$, esistono due numeri primi distinti $q_1$ e $q_2$ tali che $q_1$ divide $m-12$ e $q_2$ divide $m+12$, il che è chiaramente contraddittorio col fatto che $(m-12)(m+12)$ è una potenza di un numero primo...
Re: Problema 5: Interi primi
Certo, infatti era solo un "tip" per scrivere la soluzione: magari scrivere MCD = 1 e $(m-12)(m+12)=p^n$ implica $m=13$
Re: Problema 5: Interi primi
Ah capisco, effettivamente non era molto chiaro come l'ho scritto.
Grazie per avermelo fatto notare
Grazie per avermelo fatto notare
Re: Problema 5: Interi primi
Io l'ho risolto in maniera diversa, ma ovviamente i risultati convergono (e hai già proposto il problema successivo, caspita!). L'idea di base è questa: se $ p^n=(m-12)(m+12) $, ovviamente m+12>m-12 e $ p^n=p^k*p^{n-k} $ per cui, posto $ m-12=p^k $ vale $ m=12+p^k $ e $ m+12=p^{n-k} $, dunque $ 24=p^k(p^{n-2k}-1) $ da cui è facile, ricordando che p è primo, ricavare le tre triple valide.