Problema 5: Interi primi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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sg_gamma
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Problema 5: Interi primi

Messaggio da sg_gamma » 02 lug 2018, 12:55

Determinare tutte le terne $ (m,n,p) $ tali che $ p^n+144=m^2 $, dove $ m $ e $ n $ sono interi positivi e $ p $ è intero primo.

PG93
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Re: Problema 5: Interi primi

Messaggio da PG93 » 02 lug 2018, 13:15

Proviamo :D
Testo nascosto:
Sia $(m,n,p)$ una terna che funziona. Allora $p^n+144=m^2\Leftrightarrow p^n=(m-12)(m+12)$. Ora, si ha $MCD(m-12, m+12)|24$. Perciò si deve avere $MCD(m-12, m+12)=1\text{ o }2\text{ o }3$.
Se $MCD(m-12,m+12)=1$, necessariamente $m-12=1\Leftrightarrow m=13$ che dà $p=5$ e $n=2$. Dunque otteniamo una prima terna $(13,2,5)$.
Se $MCD(m-12,m+12)=2$, si ha $p=2$. Dunque $m-12$ e $m+12$ sono potenze intere di $2$, e le uniche potenze di $2$ che differiscono di $24$ sono $8$ e $32$, cioè $m=20$. Dunque otteniamo una seconda terna $(20,8,2)$
Se $MCD(m-12,m+12)=3$, si ha $p=3$. Perciò $m-12$ e $m+12$ sono potenze intere di $3$, e le uniche potenze di $3$ che differiscono di $24$ sono $3$ e $27$. Otteniamo così la terza terna $(15,4,3)$.
Finalmente, le soluzioni sono $(15,4,3)$, $(20,8,2)$ e $(13,2,5)$.

scambret
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Re: Problema 5: Interi primi

Messaggio da scambret » 02 lug 2018, 14:13

Perché se $MCD(m-12, m+12)=1$ allora $m=13$?
Se provi tipo $m=17$...

PG93
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Re: Problema 5: Interi primi

Messaggio da PG93 » 02 lug 2018, 14:21

Bè, se $m-12\neq1$, esistono due numeri primi distinti $q_1$ e $q_2$ tali che $q_1$ divide $m-12$ e $q_2$ divide $m+12$, il che è chiaramente contraddittorio col fatto che $(m-12)(m+12)$ è una potenza di un numero primo...

scambret
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Re: Problema 5: Interi primi

Messaggio da scambret » 02 lug 2018, 14:50

Certo, infatti era solo un "tip" per scrivere la soluzione: magari scrivere MCD = 1 e $(m-12)(m+12)=p^n$ implica $m=13$ :)

PG93
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Re: Problema 5: Interi primi

Messaggio da PG93 » 02 lug 2018, 15:02

Ah capisco, effettivamente non era molto chiaro come l'ho scritto.
Grazie per avermelo fatto notare :)

sg_gamma
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Re: Problema 5: Interi primi

Messaggio da sg_gamma » 02 lug 2018, 22:48

Io l'ho risolto in maniera diversa, ma ovviamente i risultati convergono (e hai già proposto il problema successivo, caspita!). L'idea di base è questa: se $ p^n=(m-12)(m+12) $, ovviamente m+12>m-12 e $ p^n=p^k*p^{n-k} $ per cui, posto $ m-12=p^k $ vale $ m=12+p^k $ e $ m+12=p^{n-k} $, dunque $ 24=p^k(p^{n-2k}-1) $ da cui è facile, ricordando che p è primo, ricavare le tre triple valide.

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