Problema 3 teoria dei numeri.

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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bananamaths
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Problema 3 teoria dei numeri.

Messaggio da bananamaths » 28 giu 2018, 16:35

Bene per capire cosa sta succedendo andate a vedere nei due post precedenti a questo.
Il problema è il seguente trovare tutte le coppie [math] che soddisfano [math] Chi rispondera dovra poi proporre un altro problema.

Maionsss
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Re: Problema 3 teoria dei numeri.

Messaggio da Maionsss » 28 giu 2018, 19:58

Coppie di interi? Ordinate o non?

Maionsss
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Re: Problema 3 teoria dei numeri.

Messaggio da Maionsss » 28 giu 2018, 20:53

Comunque sia, provo a risolverlo supponendo coppie ordinate di interi.
Testo nascosto:
Innanzitutto trasportiamo l’$ 1 $ al primo membro e fattorizziamo entrambi i membri, otteniamo dunque:
$ (x+1)(x-1)=8y^2(y+1)(y-1) $.
Ora c’ è la parte “ tecnica” del problema, bisogna distribuire in tutti i modi possibili i fattori del secondo membro ai due fattori del primo membro e andare a risolvere i vari sistemi ottenuti. Risolvendoli si arriva alle coppie $ (1,0);(-1;0);(1;1);(-1;1);(1,-1);(-1,-1)$ . $ $
Testo nascosto:
spero di non aver saltato qualche coppia :oops:
Ultima modifica di Maionsss il 29 giu 2018, 13:53, modificato 1 volta in totale.

bananamaths
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Re: Problema 3 teoria dei numeri.

Messaggio da bananamaths » 28 giu 2018, 23:30

Comunque è giusto mi sono dimenticato di scrivere che x,y sono positivi. e drovesti ottenere le coppie e (1,0) (1,1) :D

bananamaths
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Re: Problema 3 teoria dei numeri.

Messaggio da bananamaths » 28 giu 2018, 23:33

Ora tocca a te proporne un altro :wink:

Maionsss
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Re: Problema 3 teoria dei numeri.

Messaggio da Maionsss » 28 giu 2018, 23:33

:D :wink:

sg_gamma
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Re: Problema 3 teoria dei numeri.

Messaggio da sg_gamma » 29 giu 2018, 14:52

In linea di principio come puoi distribuire i fattori del secondo membro in un numero finito di modi? Voglio dire, $ \sqrt{y} $ potrebbe in teoria essere anch'esso un numero intero. Il problema mi ricorda uno dimostrativo delle provinciali del 1997, dove mi ero ricondotto con vari magheggi alla formula $ (p-m)(p-n)=p^2 $, ed era possibile ridistribuire i divisori di $ p^2 $ solo perchè si sapeva che era un numero primo.

Maionsss
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Re: Problema 3 teoria dei numeri.

Messaggio da Maionsss » 29 giu 2018, 15:12

Giusto, che ingenuo che sono :oops:, per la fretta di risolvere il problema ho dato per scontato che potessi fare le distribuzioni dei fattori tranquillamente. :roll:
@sg_gamma tu come l' avresti risolto il problema?
P. S. Grazie per avermi fatto notare l' errore :wink:

Fenu
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Re: Problema 3 teoria dei numeri.

Messaggio da Fenu » 29 giu 2018, 16:28

Abbozzo di dimostrazione:
Testo nascosto:
Spero di poter dare per scontato che
$$x^4-2y^2=1$$
abbia come unica soluzione $x=1, y=0$ (basta immaginarlo come $x^4 + y^4=(y^2+1)^2$, e per Wiles/Fermat si deduce ciò).
Riarrangiando ho
$$8y^4=(4y^2-1-x)(4y^2-1+x)$$
Chiamiamo $SPEZ$ l'mcd dei due fattori a destra. Chiaramente ho $SPEZ|8y^2-2$ (la somma dei due fattori) e $SPEZ|8y^4$ (LHS). Quindi $SPEZ=2^{roba}$. Però ora $roba<2$ dato che $4$ non divide $8y^2-2$. Quindi $d=2$. (Perchè non $d=1$? Osservare la (dis)parità di $x$).
Detto $y=nm$ abbiamo
$$4y^2-1-x=2n^4$$
o
$$4y^2-1-x=4n^4.$$
ossia
$$4(nm)^2 - 1 =4y^2-1 \Rightarrow n^4-2(n^2-m^2)^2=1$$
e si finisce per la premessa

bananamaths
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Re: Problema 3 teoria dei numeri.

Messaggio da bananamaths » 29 giu 2018, 17:57

Io l'avevo risolto in un altro modo

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