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Trovare tutte le soluzioni intere dell'equazione
[math]x^2+y^2+z^2= 2xyz

Gioca con la parità delle incognite

Sarebbe corretto dimostrare che non ci sono altre soluzioni oltre la terna [math](0,0,0) considerando la parità delle incognite?

Sì, così funziona.
Sennò il problema più generale è l'equazione di Markov: per quali $n\in\mathbb{N^*}$ esistono interi $a,b,c>0$ tali che
$$a^2+b^2+c^2=nabc$$
Ragionando sulla parità, puoi dimostrare che $n$ pari non funziona. Per gli altri $n$ non è così triviale

Va bene, grazie per la spiegazione