Problema Cesenatico 2012

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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EnderMark
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Problema Cesenatico 2012

Messaggio da EnderMark » 04 mag 2018, 20:56

Buonasera, vi chiedo aiuto su un problema delle gare a squadre di Cesenatico del 2012. Sono giorni che provo a risolverlo ma senza successo.
Ho tentato con il calcolo combinatorio e anche attraverso un cambiamento a base 8... ma nulla da fare.

Ecco il problema:

1. Gli anni del drago
Dice la leggenda che chi trova le sette sfere del drago può evocare il drago Shannon, ed avere esaudito un
desiderio. Però per evitarne un uso troppo frequente, il Massimo, creatore delle sfere, ha imposto la condizione
che ciò sia possibile solo negli anni del drago, ovvero quelli la cui somma delle cifre è divisibile per 7. Quanti
anni del drago ci sono dall’anno 1 all’anno 7050?

Grazie in anticipo,
Marco

Ilgatto
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Re: Problema Cesenatico 2012

Messaggio da Ilgatto » 07 mag 2018, 21:32

La massima somma delle cifre è $33$ e si ottiene con $6999$. I multipli di $7$ fino a quel numero sono solo $4$.
Iniziamo notando che la distanza tra $2$ multipli di $7$ è proprio $7$ quindi se fisso le prime $3$ cifre e lascio variabili le unità posso ottenere sicuramente $1$ o $2$ numeri che vanno bene. Insomma in ogni decennio ci possono essere o $1$ o $2$ anni del drago. Quindi ne avremo almeno $705$ cioè il numero di decenni fino all'anno $7050$ escluso quello che inizia con $7050$ stesso.
Ora contiamo i decenni che hanno $2$ anni del drago:
questi sono quelli che mi permettono di avere $2$ multipli di $7$ come somma delle cifre variando le unità. Siccome la cifra è al massimo $9$ e al minimo $0$ ho che i decenni interessati hanno come somma delle cifre di decine, centinaia e migliaia uno dei seguenti numeri:
$5,6,7,12,13,14,19,20,21$
Questi numeri li ottengo notando che per avere $2$ multipli di $7$ in $10$ numeri consecutivi il primo deve essere congruo a $-2,-1,0 \mod7$ e che la somma massima delle cifre è $33$.
Dividendo i numeri in base alla cifra delle migliaia ho che detto $abcd$ l'anno e $abc$ il decennio:
$a=0$: la massima somma delle cifre del decennio è $18$ e conto velocemente i numeri che NON vanno bene: $1$ per la somma $(18)$, $2$ per le somme $(1, 17)$, $3$ per le somme $(2, 16)$, $4$ per le somme $(3, 15)$, $5$ per la somma $(4)$, $8$ per la somma $(11)$, $9$ per le somme $(8, 10)$, $10$ per la somma $(9)$. $60$ in tutto, quindi ho $39$ decenni che vanno bene.
Da quanto visto con $a=0$ ricavo che con $2$ cifre che ballano (decine e centinaia) ho che il numero di decenni con una data somma di cifre varia in modo controllato partendo da $2$ con somma $1$ arrivando a $10$ con somma $9$ e poi tornando fino a $1$ con somma $18$. Quindi per ogni cifra delle migliaia conto in fretta i decenni che vanno bene:
  • $a=1$: $40$
  • $a=2$: $42$
  • $a=3$: $45$
  • $a=4$: $46$
  • $a=5$: $45$
  • $a=6$: $42$
  • $a=7$: $1$

Sommando quindi il numero di decenni in tutto a quelli che hanno $2$ anni del drago otteniamo:
$$705+39+40+42+45+46+45+42+1=1005$$

EnderMark
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Re: Problema Cesenatico 2012

Messaggio da EnderMark » 09 mag 2018, 22:48

Grazie mille!

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