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FLT sfasato di $1$ è molto falso

Inviato: 15 apr 2018, 19:49
da Lasker
Dimostrare che per ogni $n\geq 3$ intero entrambe le equazioni
$$(a)\ \ x^n+y^n=z^{n-1}$$
$$(b)\ \ x^{n-1}+y^{n-1}=z^n$$
Hanno infinite soluzioni negli interi positivi.

Re: FLT sfasato di $1$ è molto falso

Inviato: 24 apr 2018, 18:28
da .Ruben.
Nel primo caso pongo $ x=y=2^a, z = 2^b $, con a e b naturali. L'equazione diventa $ 2 \cdot 2^{an} = 2^{b(n-1)} $; passando agli esponenti ottengo: $ (n-1)b - na = 1 $.
Quest'ultima é un equazione diofantea lineare che ha infinite soluzioni della forma:
$ a = n-2 + k(n-1) $;
$ b=n-1 + k n $, dove k é un parametro naturale.

Nel secondo caso facendo allo stesso modo si ottiene:
$ x=y= 2^{n+1+ jn}, z=2^{n+j(n-1)} $, con j parametro naturale.

Re: FLT sfasato di $1$ è molto falso

Inviato: 24 apr 2018, 19:56
da Lasker
Buona! Ti va di generalizzare un po'? Alla fine non è troppo importante che gli esponenti siano proprio $n$ e $n-1$ ad esempio

Re: FLT sfasato di $1$ è molto falso

Inviato: 25 apr 2018, 08:33
da .Ruben.
Detto p l'esponente di x e y, e q l'esponente di z, ponendo $x=y=2^a$ e $z=2^b$ ottengo: pa + 1 = qb; che ha infinite soluzioni se e solo se mcd(p, q) = 1.
Questo implica però solamente che una condizione sufficiente affinché l'equazione ammetta infinite soluzioni è che mcd(p, q) = 1.
Come si vede ovviamente il vero FLT non ricade in questo caso.