FLT sfasato di $1$ è molto falso

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
Avatar utente
Lasker
Messaggi: 417
Iscritto il: 02 mag 2013, 20:47
Località: Udine

FLT sfasato di $1$ è molto falso

Messaggio da Lasker » 15 apr 2018, 19:49

Dimostrare che per ogni $n\geq 3$ intero entrambe le equazioni
$$(a)\ \ x^n+y^n=z^{n-1}$$
$$(b)\ \ x^{n-1}+y^{n-1}=z^n$$
Hanno infinite soluzioni negli interi positivi.
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

Avatar utente
.Ruben.
Messaggi: 2
Iscritto il: 24 apr 2018, 18:07
Località: Roma, Napoli
Contatta:

Re: FLT sfasato di $1$ è molto falso

Messaggio da .Ruben. » 24 apr 2018, 18:28

Nel primo caso pongo $ x=y=2^a, z = 2^b $, con a e b naturali. L'equazione diventa $ 2 \cdot 2^{an} = 2^{b(n-1)} $; passando agli esponenti ottengo: $ (n-1)b - na = 1 $.
Quest'ultima é un equazione diofantea lineare che ha infinite soluzioni della forma:
$ a = n-2 + k(n-1) $;
$ b=n-1 + k n $, dove k é un parametro naturale.

Nel secondo caso facendo allo stesso modo si ottiene:
$ x=y= 2^{n+1+ jn}, z=2^{n+j(n-1)} $, con j parametro naturale.

Avatar utente
Lasker
Messaggi: 417
Iscritto il: 02 mag 2013, 20:47
Località: Udine

Re: FLT sfasato di $1$ è molto falso

Messaggio da Lasker » 24 apr 2018, 19:56

Buona! Ti va di generalizzare un po'? Alla fine non è troppo importante che gli esponenti siano proprio $n$ e $n-1$ ad esempio
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

Avatar utente
.Ruben.
Messaggi: 2
Iscritto il: 24 apr 2018, 18:07
Località: Roma, Napoli
Contatta:

Re: FLT sfasato di $1$ è molto falso

Messaggio da .Ruben. » 25 apr 2018, 08:33

Detto p l'esponente di x e y, e q l'esponente di z, ponendo $x=y=2^a$ e $z=2^b$ ottengo: pa + 1 = qb; che ha infinite soluzioni se e solo se mcd(p, q) = 1.
Questo implica però solamente che una condizione sufficiente affinché l'equazione ammetta infinite soluzioni è che mcd(p, q) = 1.
Come si vede ovviamente il vero FLT non ricade in questo caso.

Rispondi