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Per quali valor interi di $ n $, $ 5^n +4 $ è un quadrato perfetto?
Allora innanzitutto sono partito scrivendo $ m^2=5^n+4 $ per cui $ m $ dev'essere un non-multiplo di 5.
Assodato che $ m $ non è nella forma $ (5k+1) $ allora dev'essre o nella forma $ (5k+2) $ o nella forma $ (5k+3) $ perchè quando elevo 3 al quadrato 9 lo posso scrivere come 5+4, per cui mi ritrovo le seguenti equazioni:

1) [math]\begin{equation}25k^2+10k+4=5^n+4\end{equation} che diventa [math]\begin{equation}25k^2+10k=5^n\end{equation}

e

2)[math]25k^2+15k+5+4=5^n+4 che diventa [math]5(5k^2+3k+1)=5^n che intuitivamente risolvo per [math](k,n)=(0,1)

ora, la mia domanda è: come dimostro (o capisco) che nella 2 l'unica soluzione è quella data e che nella 1 non esistono soluzioni?

Se nell'equazione iniziale ti scrivi $(m+2)(m-2)=5^{n}$ ottieni che sia $m-2$ che $m+2$ sono delle potenze di 5 e le uniche potenze di 5 che differiscono di 4 sono 1 e 5.

Grazie, non ci avevo pensato. In genere dove posso trovare esercizi di questo tipo?

P.S. Scusa se ho tardato a rispondere