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Sia $a_1,a_2,\ldots$ la successione ordinata delle potenze, i.e., $1,4,8,9,16,25,\ldots$. E' famosa la congettura di Pillai:

"Per $k>0$, esiste $N>0$ tale che $a_{n+1}-a_n \ge k$ per ogni $n\ge N$."

Dimostrare una versione debole:

"Per ogni $k>0$, esistono infiniti $n$ tali che $a_{n+1}-a_n \ge k$."

Soluzione criptica: se le potenze fossero un insieme sindetico avrebbero densità positiva e la serie dei loro reciproci divergerebbe. Eppure converge.

Scusate, cosa significa "insieme sindetico" e "densità positiva"?

Se te lo spiegano non è più criptica

Per insieme sindetico, vedi qui. Riguardo "densità", invece, ci sono diversi possibili interpretazioni, di solito si intende la "densità superiore asintotica" $\mathrm{d}^\star(X)=\limsup_{n\to \infty}\frac{1}{n}|X\cap [1,n]|$ per ogni $X\subseteq \mathbf{N}$. Ora, chi parafrasa?

Grazie Jordan.