Ciclotomici

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Ciclotomici

Messaggio da 1729 » 05 mar 2018, 16:23

Ho letto in una dispensa che per ogni numero naturale n esiste un polinomio ciclotomico che ha come coefficiente
n. Qualcuno sa dirmi se é vero e come si dimostra?

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elianto84
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Re: Ciclotomici

Messaggio da elianto84 » 06 mar 2018, 22:13

Ingredienti: formula di inversione di Moebius per scrivere esplicitamente i polinomi ciclotomici in termini di quelli della forma $x^m-1$; derivata logaritmica e Teorema di De l'Hospital; formula di Faa di Bruno e somme di Ramanujan. Vedi un po' cosa riesci a cavare da qui: se serve, ripasso per stendere una dimostrazione completa.

Potrebbe essere utile, preliminarmente, provare cose che vanno nella direzione opposta a quella desiderata: riesci ad esempio a dimostrare che il coefficiente di $x^2$ in un qualunque polinomio ciclotomico appartiene sempre all'insieme $\{-1,0,1\}$?
Ultima modifica di elianto84 il 07 mar 2018, 19:01, modificato 2 volte in totale.
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Re: Ciclotomici

Messaggio da 1729 » 07 mar 2018, 14:09

Grazie per la risposta, ora vedo se riesco a capirci qualcosa

Talete
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Re: Ciclotomici

Messaggio da Talete » 11 mar 2018, 14:04

elianto84 ha scritto:
06 mar 2018, 22:13
se serve, ripasso per stendere una dimostrazione completa.

Sembra molto interessante, se hai voglia sarebbe bello leggerla :D
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Re: Ciclotomici

Messaggio da PIELEO13 » 11 mar 2018, 14:18


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