Titolo a caso

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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savian
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Titolo a caso

Messaggio da savian » 28 feb 2018, 12:06

a) Ci sono numeri di 3 cifre che aumentano di 270 se si scambiano le prime due cifre e diminuiscono di 63 se si scambiano le ultime 2. Trovare il più grande di tali numeri.
b)Un triangolo ha i lati espressi in numeri interi. Il più lungo è minore di 20 ed è opposto a un angolo di 120 gradi. Qual è la lunghezza del lato maggiore?

pipotoninoster
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Re: Titolo a caso

Messaggio da pipotoninoster » 28 feb 2018, 16:36

a)
Testo nascosto:
Sia [math] un numero con tale proprietà, con [math]cifre. Allora [math] e [math], cioè dopo elementari passaggi [math] e [math]. Allora [math]. Il più grande è [math]

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Fenu
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Re: Titolo a caso

Messaggio da Fenu » 04 mar 2018, 12:14

Dalla legge del Coseno otteniamo che, detto $c$ il lato maggiore e $a, b$ gli altri due:
$$a^2 + b^2 + ab = c^2$$
Da qui possiamo continuare in 2 modi:
1)forza bruta. $c<20$ e' fattibile.
2) risolvendo quella diofantea.
Scelgo il secondo.
Scelti $m, n$ interi, possiamo generare infinite terne in questo modo:
$c=m^2 + n^2 + mn$, $b=n^2+2mn$, $a=m^2-n^2$.
Dimostrazione:
$a^2+b^2+ab=(m^2-n^2)^2+(n^2+2mn)^2 +(m^2-n^2)(n^2+2mn)=m^4 + 2 m^3 n + 3 m^2 n^2 + 2 m n^3 + n^4=(m^2+n^2+mn)^2=c^2 $
Da $c<20$ abbiamo quindi $m^2-n^2<20$, e dato che $20>m^2-n^2>m^2-(m-1)^2=2m-1$ ci basta controllare gli m<10. Ricaviamo quindi le seguenti soluzioni
($5$, $3$, $7$),($8$, $7$, $13$),($16$, $5$, $19$)

fph
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Re: Titolo a caso

Messaggio da fph » 04 mar 2018, 14:19

Ma non hai dimostrato che quella formula fornisce tutte le soluzioni della diofantea. Potrebbero essercene delle altre.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

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