Trovare tutte le soluzioni negli interi positivi di
$$
\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{\sqrt{20}}.
$$
Re: $x^{-1/2}+y^{-1/2}=20^{-1/2}$
Inviato: 18 feb 2018, 17:36
da GiOvy_27_13
Testo nascosto:
Dal testo si ottiene [math] \sqrt \frac {20}{x} + \sqrt\frac {20}{y}=1
Ponendo [math]x=y , si trova la soluzione [math]x=y=80 . Ora supponiamo, senza perdita di generalità (poiché se [math](x,y) è soluzione, allora lo è anche [math](y,x)), [math]x<y.
Supponiamo per assurdo che la somma di due radici irrazionali di numeri razionali possa dare 1.
[math]\sqrt q +\sqrt p =1 [math]q=(1-\sqrt p )^2=1+p-2\sqrt p
Al primo membro abbiamo un numero razionale, al secondo uno irrazionale e quindi l'aver supposto le radici irrazionali è assurdo.
Osserviamo che sono necessarie le condizioni [math]5|x e [math]5|y per ottenere radici razionali, quindi possiamo scrivere [math]x=5a, [math]y=5b e il testo diventa [math]\frac {2}{\sqrt a }+ \frac {2}{\sqrt b }=1.
Essendo [math]x<y , si ha [math]a<b e inoltre [math]4<a<16, [math]b>16, questo perché il valore del primo addendo dev'essere compreso tra [math]\frac{1}{2} e 1 e quello del secondo tra [math]0 e [math]\frac{1}{2}.
Ma [math]a dev'essere un quadrato, e quindi l'unico valore che può assumere è 9, che porta alle soluzioni [math](45,180) e [math](180,45).
Le tre soluzioni sono quindi [math](80,80), [math](45,180) e [math](180,45).