Insiemi e sottoinsiemi di numeri

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Buraka
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Insiemi e sottoinsiemi di numeri

Messaggio da Buraka » 29 gen 2018, 20:49

Considerato l'insieme da 1 a 2018, calcolare il prodotto di ogni sottoinsieme con due o più elementi dei numeri assegnati, e sommare tutti i prodotti ottenuti. Quali quattro cifre meno significative del risultato?

Fenu
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Re: Insiemi e sottoinsiemi di numeri

Messaggio da Fenu » 14 feb 2018, 20:56

Buraka ha scritto:
29 gen 2018, 20:49
Considerato l'insieme da 1 a 2018, calcolare il prodotto di ogni sottoinsieme con due o più elementi dei numeri assegnati, e sommare tutti i prodotti ottenuti. Quali quattro cifre meno significative del risultato?
Provo.
Sia $p(x)=(x-1)(x-2)...(x-2018)$. Per Viete's otteniamo che la somma dei prodotti di $k$ elementi scelti tra $A=${$1, 2, 3, ...,2018$} corrisponde a $(-1)^k[x^{2018-k}]$ dove con $[x^h]$ si intende il coefficiente del termine di grado $h$.
Cerchiamo dunque
$$\sum_{k=2}^{2018} (-1)^k[x^{2018-k}] = \sum_{k=1}^{2018}(-1)^k[x^{2018-k}] + [x^{2017}]$$
che a sua volta, utilizzando il fatto che $[x^{2017}]$ vale banalmente $-2017*2018*\frac{1}{2}$e che la sommatoria a sinistra vale $p(-1)$(facciamo attenzione ai segni: i termini di grado dispari vanno presi con segno opposto, per cui $p(1)$ non ci porta al risultato voluto), può essere riscritto come
$$p(-1) - 2017*2018*\frac{1}{2}$$
$$\prod_{k=1}^{2018} -(1+k) - 2017*2018*\frac{1}{2}$$
Che vale $2019! - 2035153$
2019! ha sicuramente piu' di 4 zeri finali (ne ha 502, tanto per sprecare caratteri...) quindi ci basta calcolare $-5153$ mod $10000$ ovvero $4847$ che e' la risposta.

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