Chineasy

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Talete
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Chineasy

Messaggio da Talete » 15 gen 2018, 17:25

Un numero naturale $n$ si dice chineasy se esistono $a$ e $b$ naturali tali che
\[|2^a-3^b|=n.\]
Determinare il più piccolo primo non chineasy.
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Fenu
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Re: Chineasy

Messaggio da Fenu » 30 mar 2018, 16:08

Scusa se tiro su.
Provando a mano i primi numeri primi, risulta facile trovare una costruzione per $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37$..
Testo nascosto:
\begin{eqnarray*}
2 = -2^0 + 3^1 \\
3 = 2^2 - 3^0 \\
5 = 2^3 - 3^1 \\
7 = 2^4 - 3^2 \\
11 = 3^3 - 2^4 \\
13 = 2^4 - 3^1 \\
17 = - 2^6 + 3^4 \\
19 = - 2^3 + 3^3 \\
23 = 2^5 - 3^2 \\
29 = 2^5 - 3^1 \\
31 = 2^5 - 3^0 \\
37 = 2^6 - 3^3 \mbox{.}
\end{eqnarray*}
Mostriamo ora che effetivamente $|2^a-3^b|=41$ non ha soluzioni.
1) $2^a - 3^b=41$
Per $a={0, 1, 2}$ non otteniamo soluzioni.
Supponiamo $a\geq3$. Allora modulo $8$ otteniamo
$$-3^b=1 mod8$$
$$3^b=-1 mod8$$
Ma le potenze di $3$ modulo $8$ ciclano tra {$3, 1$}, quindi questa ultima equazione non ha soluzioni.

2) $3^b-2^a=41$
Osserviamo che $(a, b)=(0, 0), (1, 0)$ non sono soluzioni. Supponiamo ora $a\geq2$ e $b\geq0$
Guardando l' equazione modulo $3$ ricaviamo
$$2^a=1 mod3$$
ovvero che $a$ e' pari.
Considerando il tutto modulo $4$:
$$3^b=1$$
e chiaramante si ha che anche $b$ e' pari.
Ora sia $a=2k$ e $b=2h$, segue che
$$3^{2h} - 2^{2k}=(3^h + 2^k)\cdot(3^h-2^k)=41$$
Da qua $h,k<6$. Controllando i casi possibili, nessuno porta a soluzione.
Alternativamente, essendo $(3^h-2^k)$ il piu' piccolo tra i due fattori, possiamo concludere che valga $1$.. Per Catalan ci basta controllare ora che $(h, k)= (1, 1)$
non e' soluzione

Talete
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Re: Chineasy

Messaggio da Talete » 02 apr 2018, 13:33

Il risultato è corretto. Riesci a dimostrare che 41 va bene anche senza invocare Catalan (e poi povero Mihăilescu, il teorema è suo ormai)?
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jordan
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Re: Chineasy

Messaggio da jordan » 06 apr 2018, 17:35

Fenu ha scritto:
30 mar 2018, 16:08
$3^{2h} - 2^{2k}=(3^h + 2^k)\cdot(3^h-2^k)=41$ [...] Alternativamente, essendo $(3^h-2^k)$ il piu' piccolo tra i due fattori, possiamo concludere che valga $1$.. Per Catalan ci basta controllare ora che $(h, k)= (1, 1)$ non e' soluzione.
Intendi $(h,k)=(2,3)$?
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