Scusa se tiro su.
Provando a mano i primi numeri primi, risulta facile trovare una costruzione per $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37$..
Mostriamo ora che effetivamente $|2^a-3^b|=41$ non ha soluzioni.
1) $2^a - 3^b=41$
Per $a={0, 1, 2}$ non otteniamo soluzioni.
Supponiamo $a\geq3$. Allora modulo $8$ otteniamo
$$-3^b=1 mod8$$
$$3^b=-1 mod8$$
Ma le potenze di $3$ modulo $8$ ciclano tra {$3, 1$}, quindi questa ultima equazione non ha soluzioni.
2) $3^b-2^a=41$
Osserviamo che $(a, b)=(0, 0), (1, 0)$ non sono soluzioni. Supponiamo ora $a\geq2$ e $b\geq0$
Guardando l' equazione modulo $3$ ricaviamo
$$2^a=1 mod3$$
ovvero che $a$ e' pari.
Considerando il tutto modulo $4$:
$$3^b=1$$
e chiaramante si ha che anche $b$ e' pari.
Ora sia $a=2k$ e $b=2h$, segue che
$$3^{2h} - 2^{2k}=(3^h + 2^k)\cdot(3^h-2^k)=41$$
Da qua $h,k<6$. Controllando i casi possibili, nessuno porta a soluzione.
Alternativamente, essendo $(3^h-2^k)$ il piu' piccolo tra i due fattori, possiamo concludere che valga $1$.. Per Catalan ci basta controllare ora che $(h, k)= (1, 1)$
non e' soluzione