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Per ogni primo $p$, chiamiamo
\[f(p)=\left|\{n\in\mathbb N : n!+1\equiv0\pmod{p}\}\right|.\]
Dimostrare che esiste una costante $\ell$ tale che per ogni primo $p$ si abbia
\[f(p)^3\le \ell p^2.\]

Credo si possa scendere a $f(p)\ll p^{1/2+\varepsilon}$ senza troppa pena. Chiaramente l'insieme di cui $f(p)$ è cardinalità è un sottoinsieme di $[1,p-1]$ contenente $p-1$, per il Teorema di Wilson. Supponiamo che $m<p-1$ soddisfi $m!\equiv(p-1)!\equiv (-1)\pmod{p}$: in questo caso il prodotto $(m+1)(m+2)\cdot(p-1)$ è congruo a $1$ modulo $p$. D'altra parte, fissato un generatore $g$ di $\mathbb{Z}/(p\mathbb{Z})^*$ si ha che ad ogni elemento $a\in[1,p-1]$ è possibile associare in modo univoco (e biettivo) un elemento di $[1,p-1]$ dato dal logaritmo discreto di $a$ rispetto a $g$. In questo senso il logaritmo discreto permuta gli elementi di $[1,p-1]$. Detta $\sigma$ la permutazione associata al logaritmo discreto, basta provare che non è possibile che si abbia $$\sigma(1)+\sigma(2)+\ldots+\sigma(k)\equiv 0\pmod{p-1} $$ tanto spesso, visto che $\sigma(a)+\sigma(b)=\sigma(ab)$. Ad esempio, se tra $1,2,\ldots,m$ vi è un numero dispari di non-residui quadratici, non c'è proprio verso che $m!$ sia congruo a $1\pmod{p}$, e i non-residui quadratici sono circa uniformemente distribuiti per le disuguaglianze di Polya e Vinogradov. Discorso analogo per i residui cubici se $p\equiv 1\pmod{p}$ eccetera.