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Finalmente l'ho risolto!

Inviato: 03 gen 2018, 11:19
da Gerald Lambeau
Vediamo se chi si è trovato a provare a risolverlo insieme a me se lo ricorda:
trovare infinite coppie $(x, y) \in \mathbb{Q^2}$ tali che $x^3+y^3=9$;
divertitevi.

PS: non so se è già passato sul forum, ma non sono riuscito a cercare bene perché se inserisco l'equazione mi considera i caratteri come "parole troppo corte"; non sarebbe possibile aggiungere un tipo di ricerca "per equazione"?

Re: Finalmente l'ho risolto!

Inviato: 03 gen 2018, 13:01
da Federico II
Se la cosa può confortarti, ad un orale in SNS hanno chiesto di esprimere in funzione di un parametro tutti i punti a coordinate razionali in una generica curva polinomiale.

Re: Finalmente l'ho risolto!

Inviato: 03 gen 2018, 14:37
da Gerald Lambeau
Oddio, non penso di averli trovati tutti in questo problema, ma la notizia mi conforta ugualmente XD.

Re: Finalmente l'ho risolto!

Inviato: 05 gen 2018, 15:53
da Talete
Gerald Lambeau ha scritto:
03 gen 2018, 11:19
chi si è trovato a provare a risolverlo insieme a me

Sono io?

Re: Finalmente l'ho risolto!

Inviato: 05 gen 2018, 17:43
da Gerald Lambeau
Talete ha scritto:
05 gen 2018, 15:53
Gerald Lambeau ha scritto:
03 gen 2018, 11:19
chi si è trovato a provare a risolverlo insieme a me

Sono io?
Tu, l'altro tizio qui sopra e Simone.

Re: Finalmente l'ho risolto!

Inviato: 06 gen 2018, 13:06
da Troleito br00tal
Beh, sarà stata una curva di grado 2, visto che altrimenti è falso

Re: Finalmente l'ho risolto!

Inviato: 06 gen 2018, 14:51
da Gerald Lambeau
Davvero?
Testo nascosto:
$a_1=2, b_1=1$.
$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n(a_n^3+2b_n^3)}{a_n^3-b_n^3}, b_{n+1}=\frac{b_n(b_n^3+2a_n^3)}{b_n^3-a_n^3}$.
Si dimostra easy che $a_{n+1}^3+b_{n+1}^3=a_n^3+b_n^3$.
Si dovrebbe anche dimostrare (con le giuste ipotesi che si conservano) che, scritte come frazioni ridotte ai minimi termini, ogni coppia ha lo stesso denominatore che è dispari, il numeratore dei $b$ pure è sempre dispari mentre quello degli $a$ dovrebbe, se non ho sbagliato nulla, guadagnare almeno un fattore $2$ in più ogni volta.

Re: Finalmente l'ho risolto!

Inviato: 06 gen 2018, 17:27
da Drago96
Federico II ha scritto:
03 gen 2018, 13:01
Se la cosa può confortarti, ad un orale in SNS hanno chiesto di esprimere in funzione di un parametro tutti i punti a coordinate razionali in una generica curva polinomiale.
Troleito br00tal ha scritto:
06 gen 2018, 13:06
Beh, sarà stata una curva di grado 2, visto che altrimenti è falso
Si riferisce a questo fatto, non al problema.

Comunque per trovare la tua parametrizzazione c'è dietro un'idea molto simile a quella che serve per le coniche, che fondamentalmente è "fai intersecare rette con la giusta molteplicità"

Re: Finalmente l'ho risolto!

Inviato: 06 gen 2018, 17:42
da Gerald Lambeau
Ah, ok.
Delle rette lo sapevo, anzi è proprio per insegnarci quel metodo che ci è stato assegnato questo problema, e infatti è così che ho trovato la parametrizzazione.

Re: Finalmente l'ho risolto!

Inviato: 06 gen 2018, 20:36
da Talete
Gerald Lambeau ha scritto:
06 gen 2018, 17:42
Ah, ok.
Delle rette lo sapevo, anzi è proprio per insegnarci quel metodo che ci è stato assegnato questo problema, e infatti è così che ho trovato la parametrizzazione.
Problemi di tdn che "hey ma questo è geometria!"

Re: Finalmente l'ho risolto!

Inviato: 06 gen 2018, 21:36
da Federico II
Allego il file dove ho trovato la domanda a pagina 1-2, dovrebbe essere quello del 2014.
Ma dicevo, quesiti di questo genere sono stati dati ad un Senior Advanced, quindi in un contesto dove hai 3 ore per risolverli e il pubblico sono pochissimi veterani delle olimpiadi ben istruiti, quindi perché sono stati chiesti anche ad un esame orale (quindi dove non hai così tanto tempo per pensare) che dovrebbe far passare un bel po' di persone in più?

Re: Finalmente l'ho risolto!

Inviato: 06 gen 2018, 22:04
da Salvador
Federico II ha scritto:
06 gen 2018, 21:36
Allego il file dove ho trovato la domanda a pagina 1-2, dovrebbe essere quello del 2014.
Ma dicevo, quesiti di questo genere sono stati dati ad un Senior Advanced, quindi in un contesto dove hai 3 ore per risolverli e il pubblico sono pochissimi veterani delle olimpiadi ben istruiti, quindi perché sono stati chiesti anche ad un esame orale (quindi dove non hai così tanto tempo per pensare) che dovrebbe far passare un bel po' di persone in più?
Più domande accorpate (?)
Effettivamente in rapporto alle domande riportate degli ultimi anni sembrano significativamente più difficili
Sembra che le cose siano trascritte più per tematiche che per singole domande

Re: Finalmente l'ho risolto!

Inviato: 08 gen 2018, 14:28
da Talete
Federico II ha scritto:
06 gen 2018, 21:36
pochissimi veterani delle olimpiadi ben istruiti
8)